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• कदम
• टिप्स

गणितज्ञों और ग्राफिक्स प्रोग्रामर को अक्सर दो वैक्टर के बीच के कोण को खोजने की आवश्यकता होती है। सौभाग्य से, इस कोण की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्र को एक साधारण स्केलर उत्पाद से अधिक कुछ भी नहीं चाहिए। यद्यपि दो-आयामी वैक्टरों का उपयोग करते समय इस सूत्र के पीछे का तर्क समझना आसान है, हम इसे किसी भी घटक के साथ वैक्टर के लिए आसानी से अनुकूलित कर सकते हैं।

कदम

भाग 1 का 2: दो वैक्टर के बीच के कोण की गणना करें

1. 

   दोनों वैक्टर को पहचानें। दो वैक्टर के बारे में सभी ज्ञात जानकारी लिख लें। इस ट्यूटोरियल के उद्देश्य के लिए, हम मानेंगे कि आप वैक्टर को केवल उनके आयामी निर्देशांक (जिसे भी कहते हैं) के संदर्भ में जानते हैं अवयव)। अगर आपको पहले से पता है मापांक या मानक इनमें से वैक्टर (जो उनकी लंबाई है), आप नीचे दिए गए कुछ चरणों को छोड़ सकते हैं।
   • उदाहरण: हम द्वि-आयामी वैक्टर = (2,2) और = (0,3) पर विचार करेंगे। इन दो वैक्टर को = 2 के रूप में फिर से लिखा जा सकता हैमैं + 2जे ई = ०मैं + 3जे = 3जे.
   • यद्यपि हमारा उदाहरण दो द्वि-आयामी वैक्टर का उपयोग करता है, हम किसी भी संख्या में घटकों के साथ वैक्टर को निम्नलिखित निर्देश लागू कर सकते हैं।

2. 

   
   
   कोसाइन सूत्र लिखें। किसी भी दो वैक्टर के बीच के कोण का मान ज्ञात करने के लिए, हमें पहले उस कोण के कोसाइन की गणना करनी चाहिए। आप सूत्र को विस्तार से खोज सकते हैं और जान सकते हैं या इसे नीचे लिखे अनुसार ही लिख सकते हैं:
   • cos = (•) / (|||| ||||)
   • |||| का प्रतिनिधित्व करता है मापांक (या लंबाई) वेक्टर का "।
   • • का प्रतिनिधित्व करता है अदिश उत्पाद (या आंतरिक उत्पाद) दो वैक्टर।

3. 

   
   
   प्रत्येक वेक्टर के मापांक की गणना करें। घटक द्वारा गठित एक सही त्रिकोण की कल्पना करें एक्स वेक्टर का, इसका घटक y और वेक्टर ही। इस त्रिकोण में, वेक्टर कर्ण की भूमिका निभाता है; इसलिए, इसकी लंबाई जानने के लिए, हम पायथागॉरियन प्रमेय लागू करेंगे। नतीजतन, यह सूत्र आसानी से किसी भी घटक के साथ वैक्टर पर लागू होता है।
   • || यू || = यू₁ + यू₂। यदि वेक्टर में दो से अधिक घटक हैं, तो बस + u जोड़ना जारी रखें₃ + यू₄ +...
   • इसलिए, दो-आयामी वेक्टर के लिए, हमें करना होगा || यू || = = (यू₁ + यू₂).
   • हमारे उदाहरण में, ||| = = (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   दो वैक्टर के बीच अदिश उत्पाद की गणना करें। आपको पहले से ही वैक्टर को गुणा करने की विधि पता होनी चाहिए, जिसे कहा जाता है अदिश उत्पाद। उनके घटकों के संदर्भ में दो वैक्टर के स्केलर उत्पाद की गणना करने के लिए, हम घटकों को एक दूसरे के साथ एक ही दिशा में गुणा करते हैं और फिर उन उत्पादों के परिणामों को जोड़ते हैं।
   • यदि आप कंप्यूटर ग्राफिक्स कार्यक्रमों के साथ काम करते हैं, तो आगे बढ़ने से पहले "टिप्स" अनुभाग पर जाएं।
   • गणितीय शब्दों में, • = यू₁v₁ + यू₂v₂, कहां u = (यू)₁, आप₂)। यदि आपके वेक्टर में दो से अधिक घटक हैं, तो बस + u जोड़ना जारी रखें₃v₃ + यू₄v₄...
   • हमारे उदाहरण में, • = यू₁v₁ + यू₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6। यह वैक्टर और के बीच स्केलर उत्पाद का मूल्य है।

5. 

   इन परिणामों को कॉशन सूत्र में रखें। याद रखें, cos| = (•) / (|||| ||) || हमने पहले से ही स्केलर उत्पाद और दो वैक्टर के मॉड्यूल की गणना की है। अब, आइए इन मानों को सूत्र में बदलें और कोण के कोसाइन की गणना करें।
   • हमारे उदाहरण में, cos our = 6 / (2 example2 * 3) = 1 / =2 = θ2 / 2।

6. 

   अपने कोसाइन पर आधारित कोण का पता लगाएं।
   अपने कोसाइन मान से कोण determine निर्धारित करने के लिए अपने कैलकुलेटर के आर्क या कॉस फ़ंक्शन का उपयोग करें। कुछ मामलों में, आप यूनिट सर्कल के आधार पर कोण मान पा सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, cos our = √2 / 2। कोण खोजने के लिए अपने कैलकुलेटर में "arccos (√2 ​​/ 2)" टाइप करें। एक अन्य विकल्प यूनिट सर्कल के कोण option के लिए देखना है जहां cos√ = /2 / 2: यह सच होगा θ = /₄ या 45 °.
   • सभी सूचनाओं को एक साथ रखते हुए, हमारे पास अंतिम सूत्र ar = arccosine ((•) / ((@@@) ||) होगा।

भाग 2 का 2: कोण की गणना के लिए सूत्र को परिभाषित करना

1. 

   सूत्र के उद्देश्य को समझें। दो वैक्टर के बीच के कोण की गणना करने के लिए हमने जो सूत्र इस्तेमाल किया था, वह पहले से मौजूद नियमों से प्राप्त नहीं था; इसके बजाय, इसे दो वैक्टर और उनके बीच के कोण के बीच स्केलर उत्पाद की परिभाषा के रूप में बनाया गया था। हालाँकि, यह निर्णय मनमाना नहीं है। बुनियादी ज्यामिति पर करीब से देखने के साथ, हम देख सकते हैं कि इस सूत्र के परिणामस्वरूप ऐसी उपयोगी और सहज परिभाषाएं क्यों हैं।
   • निम्नलिखित उदाहरण दो आयामी वैक्टर का उपयोग करते हैं क्योंकि वे काम करने के लिए सबसे सहज प्रकार हैं। तीन या अधिक आयामों के क्षेत्रों में उनके गुण सामान्य सूत्र से परिभाषित होते हैं (बहुत ही समान तरीके से भी)।

2. 

   कॉशन कानून की समीक्षा करें। किसी भी त्रिकोण में, पक्षों द्वारा गठित कोण the पर विचार करें तथा बी और पक्ष सी उस कोण के विपरीत। ब्रह्मांड नियम के अनुसार, c = a + b -2abकमरबंद(Θ)। बुनियादी ज्यामिति के ज्ञान से इस सूत्र का प्रदर्शन आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

3. 

   त्रिकोण बनाने के लिए दो वैक्टर को कनेक्ट करें। वैक्टर की एक जोड़ी बनाएं, और, उनके बीच एक कोण ctors के साथ। फिर, त्रिकोण बनाने के लिए उनके बीच एक तीसरा वेक्टर ड्रा करें। दूसरे शब्दों में, सदिश को ऐसे खींचिए कि + =, या बस = -।

4. 

   इस त्रिभुज के लिए कोसाइन नियम लागू करें। हमारे पक्ष की लंबाई बदलें वेक्टर त्रिकोण (अर्थात, वेक्टर मॉड्यूल) कोसिन विधि के सूत्र में है:
   • || (ए - बी) || = || ए || + || बी || - 2 || ए || || बी ||कमरबंद(θ)

5. 

   स्केलर उत्पादों का उपयोग करके सूत्र को फिर से लिखें। याद रखें कि डॉट उत्पाद दूसरे पर प्रक्षेपित एक वेक्टर का इज़ाफ़ा है। एक वेक्टर के स्केलर उत्पाद को प्रक्षेपण की आवश्यकता नहीं होती है क्योंकि दिशा में कोई बदलाव नहीं होता है। इसका मतलब है कि • = || a || इस जानकारी के आधार पर, हम कॉशन कानून के समीकरण को फिर से लिखते हैं:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || ए || || बी ||कमरबंद(θ)

6. 

   सूत्र को सरल कीजिए। समीकरण के बाईं ओर उत्पादों का विस्तार करें और तब तक इसे सरल करें जब तक कि आप उस सूत्र तक नहीं पहुंच जाते जिसे हम कोणों की गणना के लिए जानते हैं।
   • • - • - • + • = • + • - 2 || एक || || बी ||कमरबंद(θ)
   • - • - • = -2 || ए || || बी ||कमरबंद(θ)
   • -2 (•) = -2 || एक || || बी ||कमरबंद(θ)
   • • = || a || || बी ||कमरबंद(θ)

टिप्स

• त्वरित समाधान के लिए, निम्न सूत्र को किसी भी द्वि-आयामी वेक्टर जोड़ी में लागू करें: cos (= (u)₁ • वी₁ + यू₂ • वी₂) / (√ (यू)₁ • आप₂) • v (v)₁ • वी₂)).
• यदि आप कंप्यूटर ग्राफिक्स कार्यक्रमों के साथ काम करते हैं, तो आपको सबसे अधिक केवल वैक्टर की दिशा जानने की आवश्यकता होगी, न कि उनकी लंबाई। समीकरणों को सरल बनाने और अपने कार्यक्रम को गति देने के लिए नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:
  • प्रत्येक वेक्टर को सामान्य करें, अर्थात, यूनिट वेक्टर को ढूंढें जिसमें मूल वेक्टर के समान दिशा हो। ऐसा करने के लिए, वेक्टर मॉड्यूल द्वारा वेक्टर के प्रत्येक घटक को विभाजित करें।
  • सामान्य वैक्टर नहीं, बल्कि सामान्य वैक्टर के स्केलर उत्पाद की गणना करें।
  • चूंकि सामान्यीकृत वैक्टर के मापांक (लंबाई, लंबाई) एकात्मक है, हम उन्हें सूत्र से बाहर छोड़ सकते हैं। कोणों की गणना के लिए आपका अंतिम समीकरण आर्क्स (•) होगा।
• कॉशन कानून के फार्मूले के आधार पर, हम जल्दी से पता लगा सकते हैं कि प्रश्न में कोण तीव्र है या अप्रभावी है। Cos| = (•) / ((|| ||||):
  • समीकरण के बाईं और दाईं ओर समान चिह्न (सकारात्मक या नकारात्मक) होना चाहिए।
  • जैसे-जैसे लंबाई हमेशा सकारात्मक होती है, cos length में हमेशा स्केलर उत्पाद के समान संकेत होगा।
  • इसलिए, यदि स्केलर उत्पाद सकारात्मक है, तो cos if सकारात्मक होगा। इसका मतलब है कि कोण इकाई सर्कल के पहले चतुर्थांश में है, अर्थात, π <π / 2 या 90 °। इसलिए, कोण तीव्र है।
  • यदि अदिश उत्पाद ऋणात्मक है, तो cosθ ऋणात्मक है। इसका मतलब है कि कोण इकाई सर्कल के दूसरे चतुर्थांश में है, अर्थात, the / 2 <≤ is <या 90 ° <θ ° 180 °। इसलिए, कोण obtuse है।