विषय

• कदम
• टिप्स
• चेतावनी

कैलकुलेटर आने से पहले, छात्रों और शिक्षकों दोनों को हाथ से वर्गमूलों की गणना करनी थी। इस भयावह प्रक्रिया से बेहतर तरीके से निपटने के लिए कई तरीके विकसित हुए हैं, कुछ लाए गए अनुमान और दूसरे एक अधिक सटीक मूल्य। सरल ऑपरेशन का उपयोग करके हाथ से एक वर्गमूल की गणना करने का तरीका जानने के लिए, पढ़ें चरण 1 शुरू करने के लिए।

कदम

विधि 1 का 2: अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करना

1. 

   पूर्ण वर्ग कारकों द्वारा संख्या को विभाजित करें। यह विधि एक वर्गमूल की गणना करने के लिए एक संख्या के कारकों का उपयोग करती है (मूल्य के आधार पर, यह एक सटीक या अनुमानित उत्तर हो सकता है)। आप कारकों संख्या किसी भी अन्य का समूह है जो इसे प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं। आप कह सकते हैं, उदाहरण के लिए, कारक क्या हैं और क्यों। दूसरी ओर, संपूर्ण वर्ग, संपूर्ण संख्याएं हैं जो अन्य संपूर्ण संख्याओं के बीच गुणा से उत्पन्न होती हैं। मान, और, उदाहरण के लिए, सही वर्ग हैं क्योंकि उन्हें क्रमशः और, द्वारा दर्शाया जा सकता है। सही वर्ग कारक, जैसा कि आप कल्पना कर सकते हैं, सही वर्ग भी हैं। अभाज्य गुणनखंड के माध्यम से वर्गमूल ज्ञात करने के लिए, अपने पूर्ण वर्ग कारकों के मानों को कम करें।
   • एक उदाहरण में, आपको हाथ के वर्गमूल की गणना करनी होगी। शुरू करने के लिए, बस अपने सही वर्ग कारकों में मूल्य को विभाजित करें। चूंकि यह एक से अधिक है, यह अभी भी ज्ञात है कि यह विभाज्य है - एक पूर्ण वर्ग। एक त्वरित मानसिक विभाजन आपको यह दिखाएगा कि यह संख्या में कई बार फिट बैठता है, जो संयोग से एक पूर्ण वर्ग भी है। इसलिए, का सही वर्ग कारक होगा और क्यों।
   • अभ्यास के पहले चरण के रूप में लिखा जाएगा:

2. 

   
   
   सही वर्ग कारकों के वर्ग जड़ों की गणना करें। वर्गमूल उत्पाद की संपत्ति बताती है कि, किसी भी मूल्य और डेटा के लिए,। इस वजह से, अब कारकों की वर्ग जड़ों को निकालना और उत्तर में आने के लिए उन्हें गुणा करना संभव है।
   • प्रश्न में उदाहरण में, वर्गमूल की जड़ें और निम्नानुसार निकाली जाएंगी:

3. 

   
   
   इसके सरलतम शब्दों में परिणामी मूल्य को कम करें, अगर यह पूरी तरह से संभव नहीं है। व्यवहार में, संख्या सही और सटीक होने की संभावना नहीं है कारकों के साथ भी सही वर्ग (जैसे) हैं। ऐसे मामलों में, एक सटीक पूरे उत्तर के साथ आना संभव नहीं हो सकता है। इसके बजाय, सही वर्ग हो सकने वाले कारकों का निर्धारण करके, आप वर्गमूल के छोटे, सरल और आसान काम के आधार पर उत्तर की गणना कर सकते हैं। बस उन कारकों के संयोजन की संख्या कम करें जो दूसरों के साथ बिल्कुल सही वर्ग हैं जो नहीं हैं। फिर, परिणाम को सरल बनाएं।
   • मान लीजिए कि का वर्गमूल एक उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है। यह संख्या दो पूर्ण वर्गों का उत्पाद नहीं है, इसलिए पिछले मामले में पूर्णांक मान पर पहुंचना संभव नहीं है। हालांकि, यह एक पूर्ण वर्ग और एक अन्य संख्या - ई के बीच का उत्पाद है। इस डेटा का उपयोग सबसे आसान शब्दों में उत्तर की खोज को आगे बढ़ाने के लिए किया जाएगा:

4. 

   
   
   यदि आवश्यक हो, तो अनुमान लगाएं। अपने सरलतम शब्दों में वर्गमूल के साथ, शेष वर्ग जड़ों के मूल्य को निर्धारित करके और उचित मूल्यों को गुणा करके संख्यात्मक प्रतिक्रिया का अनुमान लगाना सरल है। इन अनुमानों के माध्यम से खुद को निर्देशित करने का एक तरीका वर्गमूल में संख्या के बगल में सही वर्गों को खोजना है। आपको पता चल जाएगा कि उस संख्या के दशमलव स्थान इन दो मूल्यों के बीच होंगे और इसलिए, उनके बीच क्या मौजूद है, यह निर्धारित करना आसान होगा।
   • उदाहरण पर लौटकर और ई होने के नाते, आप देख सकते हैं कि यह ई के बीच है - और शायद बड़ी संख्या के करीब। जब आप अनुमान लगा रहे हैं कि मिल जाएगा। बस एक कैलकुलेटर की सहायता से ऑपरेशन की जांच करें और आप देखेंगे कि आप सही उत्तर () के बहुत करीब आ गए हैं।
     • यह भी बड़ी संख्या में काम करता है। यह संभव है, उदाहरण के लिए, यह अनुमान लगाने के लिए कि यह बीच है और (संभवतः बड़ी संख्या के करीब)। यदि ई और दोनों मानों के बीच है, तो यह संभावना है कि इसकी वर्गमूल भी और के बीच है। यह ध्यान में रखते हुए कि यह एक छोटा कदम है, आप विश्वास के साथ कह सकते हैं कि आपका वर्गमूल है जल्द ही मान से नीचे। कैलकुलेटर पर गणना करते समय, आप परिणाम पर पहुंचते हैं - धारणा सही थी।

5. 

   सबसे पहले, अपनी संख्या कम करें आम कई न्यूनतम. उन कारकों को खोजना आवश्यक नहीं है जो सही वर्ग हैं यदि आप किसी संख्या के प्रमुख कारकों को निर्धारित करने में सक्षम हैं (अर्थात, अभाज्य संख्याएँ भी हैं)। सामान्य गुणकों पर आधारित प्रश्न में मूल्य न्यूनतम लिखें। अगला, उन अभाज्य संख्याओं के जोड़े की तलाश करें जो एक दूसरे से मेल खाते हों। जब आपको दो विकल्प मिलते हैं जो इन आवश्यकताओं को पूरा करते हैं, तो उन्हें वर्गमूल और स्थान से बाहर निकालें ए उनमें से बाहर।
   • एक उदाहरण के रूप में, इस विधि के साथ वर्गमूल को खोजने का प्रयास करें। यह ज्ञात है कि और वह। इस वजह से, इसके कारकों के संदर्भ में वर्गमूल लिखना संभव है:। बस दो वर्तमान को जड़ के अंदर ले जाएं और उनमें से एक को सबसे सरल शब्दों में आने के लिए बाहर की तरफ रखें:। यहां से, अनुमान लगाना आसान है।
   • अंतिम उदाहरण के रूप में, वर्गमूल की गणना करने का प्रयास करें:
     • 
       यहां वर्गमूल के अंदर कई मूल्य हैं - जैसा कि यह एक प्रमुख संख्या है, बस जोड़े में से एक को लें और एक इकाई को बाहर की तरफ रखें।
     • नतीजतन, इसकी सबसे सरल शब्दों में वर्गमूल होगा या। यहां से, आप और यदि आप चाहें तो मूल्यों का अनुमान लगा सकते हैं।

2 की विधि 2: स्क्वायर रूट्स की मैन्युअल गणना करना

1. 

   सबसे पहले, जोड़े में संख्या से रिक्त स्थान को अलग करें। यह विधि वर्गमूल की गणना करने के लिए लंबे विभाजन के समान प्रक्रिया का उपयोग करती है सटीक, एक समय में एक घर। महत्वपूर्ण नहीं होने पर, आप पा सकते हैं कि यह प्रक्रिया आसान है जब इसे नेत्रहीन रूप से व्यवस्थित किया जाता है और संख्या को भागों में विभाजित किया जाता है। पहली बात यह है कि कार्य क्षेत्र को दो क्षेत्रों में अलग करने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचना है, फिर शीर्ष पर एक छोटी सी क्षैतिज रेखा बनाना है ताकि शीर्ष पर एक छोटा खंड हो और सबसे नीचे एक बड़ा खंड हो। अब, कॉमा से शुरू होने वाले जोड़े में संख्याओं से रिक्त स्थान को अलग करें: इस नियम का पालन करना, उदाहरण के लिए, बन जाता है। बाईं जगह के शीर्ष पर मान लिखें।
   • एक उदाहरण में, वर्गमूल की गणना करने का प्रयास करें। पिछले मामले की तरह कार्य क्षेत्र को विभाजित करने के लिए दो लाइनें बनाएं और बाएं स्थान के ऊपरी हिस्से में लिखें, और चिंता न करें कि क्या जोड़ी के बजाय बाईं ओर केवल एक ही संख्या है। आपको ऊपरी दाएं क्षेत्र में उत्तर () लिखना होगा।

2. 

   पता करें कि कौन सा सबसे बड़ा पूर्णांक है जिसका वर्ग बाईं ओर की संख्या (या संख्याओं की संख्या) के बराबर या उससे कम है। अपनी संख्या के सबसे बाएं हिस्से से शुरू करें, चाहे वह एक जोड़ी हो या एक अलग मूल्य। निर्धारित करें कि कौन सा सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग है जो उस संख्या से कम या उसके बराबर है और इसकी वर्गमूल लें: यह मान द्वारा दर्शाया गया है। इसे ऊपरी दाएं स्थान में लिखें और अपने वर्ग को निचले दाएं चतुर्थांश में लिखें।
   • उदाहरण में, सबसे बाएं भाग की संख्या है। जैसा कि ज्ञात है कि, यह बताना संभव है कि, क्योंकि यह सबसे बड़ा पूर्णांक मान है जिसका वर्ग इससे कम या इसके बराबर है। ऊपरी चतुर्थांश में लिखें - यह परिणाम का पहला वर्ग होगा। फिर निचले दाएं चतुर्थांश में (वर्ग) लिखें - यह मान अगले चरण के लिए महत्वपूर्ण होगा।

3. 

   घटाना बाईं ओर नई गणना जोड़ी संख्या। लंबे समय तक विभाजन के रूप में, अगला चरण उस भाग से पाए गए वर्ग को घटाना है जो अभी अध्ययन किया गया है। इस मूल्य को पहले भाग के नीचे लिखें और उचित घटाएँ, नीचे उत्तर लिखें।
   • उदाहरण में, एक को घटाव प्रदर्शन करने के लिए एक के नीचे रखा जाएगा। यहाँ उत्तर समान होगा।

4. 

   अगली जोड़ी के लिए नीचे जाएँ। अध्ययन संख्या के अगले हिस्से को घटाएं और आपके द्वारा अभी-अभी प्राप्त किए गए घटाए गए मूल्य के बगल में ले जाएं। फिर शीर्ष दाईं ओर के मान को गुणा करके नीचे दाईं ओर स्थित चतुर्थ भाग में उत्तर लिखें। अब अगले चरण में गुणा समस्या के लिए बस एक स्थान अलग करें:।
   • उदाहरण में, अगली जोड़ी उपलब्ध है। बस नीचे बाएँ चतुर्भुज के पास इसे देखें। फिर मूल्य को गुणा करें और इसे प्राप्त करें, ताकि। निचले दाएं कोने में लिखें, उसके बाद।

5. 

   सही चतुर्थांश में रिक्त स्थान भरें। उनमें से प्रत्येक में अब एक ही पूर्णांक होगा। यह सबसे बड़ा होना चाहिए जो दाएं पर गुणा के परिणाम को बाईं ओर मौजूद संख्या से कम या उसके बराबर होने की अनुमति देता है।
   • उदाहरण में, परिणाम के साथ रिक्त स्थान को भरना:। यह इससे बड़ा मूल्य है। इस तरह, यह बहुत बड़ा है, लेकिन यह शायद करेगा। रिक्त स्थान में लिखें और आगे बढ़ें: यह पुष्टि की जाती है कि यह जरूरत को पूरा करता है क्योंकि, इसके बाद ऊपरी दाहिने हिस्से में संख्या लिखें।के वर्गमूल में यह दूसरा वर्ग है।

6. 

   बाईं ओर अब संख्या से परिकलित मान घटाएं। लंबे विभाजन के समान शैली में घटाना जारी रखें। गुणन समस्या के परिणाम को दाएं चतुर्थांश में ले जाएं और इसे उस मूल्य से घटाएं जो अब बाईं ओर है, अपने उत्तर को बस नीचे रखें।
   • उदाहरण में, इससे घटाया जाएगा, जिसके परिणामस्वरूप।

7. 

   दोहराएँ चरण 4। उस संख्या के अगले भाग तक स्क्रॉल करें जिसकी वर्गमूल गणना की जा रही है। जब आप अल्पविराम तक पहुंचते हैं, तो ऊपरी दाएं चतुर्थांश में उत्तर में एक दशमलव लिखें। फिर, ऊपर दाईं ओर के मूल्य को गुणा करें और ऑपरेशन को पहले की तरह सफेद () में लिखें।
   • उदाहरण में, जैसे कि अल्पविराम अब पहुंच रहा है, शीर्ष दाईं ओर वर्तमान उत्तर के बाद इसे लिखें। फिर बाएं जोड़े में अगली जोड़ी () को नीचे ले जाएं। शीर्ष दाएं () पर मान से गुणा करके, आपको मिलता है - नीचे दाएं चतुर्थांश में लिखें।

8. 

   चरण 5 और 6 दोहराएं। दाईं ओर रिक्त स्थान भरने में सक्षम सबसे बड़ा दशमलव मान ज्ञात करें जो वर्तमान में बाईं ओर की संख्या के बराबर या उससे कम परिणाम देता है। तो बस समस्या पर आगे बढ़ें।
   • उदाहरण में ,, जो बाईं ओर की संख्या से कम या बराबर है ()। यह देखते हुए, जो बहुत अधिक है, आप इस निष्कर्ष पर आते हैं कि यह वह उत्तर है जिसकी आप तलाश कर रहे हैं। इसे ऊपरी दाईं ओर के अगले दशमलव स्थान के रूप में लिखें और बाईं ओर की संख्या को गुणा करने के परिणाम को घटाएं:।

9. 

   दशमलव स्थानों की गणना करना जारी रखें। बाईं ओर शून्य की एक जोड़ी छोड़ें और दोहराएं चरण 4, 5 तथा 6। यहां तक ​​कि अधिक सटीकता के लिए, जब तक आप अपने उत्तर में सौवां, हजारवां भाग वगैरह नहीं पा लेते, प्रक्रिया को दोहराते रहें। जब तक आप वांछित दशमलव स्थान पर परिणाम तक नहीं पहुँच जाते तब तक इस चक्र को जारी रखें।

प्रक्रिया को समझना

1. 

   उस संख्या को परिभाषित करें जिसकी वर्गमूल की गणना एक वर्ग के क्षेत्रफल के रूप में की जाएगी। जैसा कि इस क्षेत्र में एक सूत्र है, जहां यह अपने एक पक्ष की लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है, जब आप इसके मूल्य के वर्गमूल को खोजने की कोशिश कर रहे हैं, तो आप प्रश्न में वर्ग की लंबाई की गणना करने का प्रयास कर रहे हैं।

2. 

   अपने उत्तर में प्रत्येक दशमलव स्थान के लिए चर निर्दिष्ट करें। चर को पहले दशमलव स्थान के लिए निर्धारित करें (वर्गमूल की गणना की जा रही है), दूसरा होने के लिए, तीसरा होने के लिए, और इसी तरह।

3. 

   आरंभिक संख्या के प्रत्येक भाग में वर्णमाला चर निर्दिष्ट करें। (प्रारंभिक मूल्य) में दशमलव स्थानों की पहली जोड़ी के साथ चर को जोड़ दें, दशमलव स्थानों की दूसरी जोड़ी, और इसी तरह।

4. 

   इस पद्धति के कनेक्शन को लंबे विभाजन के साथ समझें। वर्गमूल की गणना का यह तरीका मूल रूप से एक लंबी विभाजन समस्या है जो शुरुआती संख्या को अपने वर्गमूल से विभाजित करती है, दे रही है जवाब में इसकी वर्गमूल। लंबी विभाजन की समस्याओं के साथ, जिसमें ब्याज एक समय में एक दशमलव स्थान के लिए निर्देशित होता है, यहां आपको एक समय में दो पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए (जो अगले वर्ग मूल दशमलव स्थान के अनुरूप है)।

5. 

   सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिसका वर्ग कम या बराबर है। उत्तर में पहला दशमलव स्थान सबसे बड़े पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता है जिसका वर्ग अधिक नहीं है (इसलिए)। उदाहरण में, और, ताकि।
   • एक उदाहरण में, यदि आप लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके विभाजित करना चाहते हैं, तो पहला चरण समान होगा: आपको पहले अंक () की तलाश करनी चाहिए और सबसे बड़ा पूर्णांक ज्ञात करना चाहिए, जब गुणा करके, इससे कम या कुछ में परिणाम होगा। के बराबर। मूल रूप से, यह उस तरीके को खोजने के बारे में है। इस मामले में, यह बराबर होगा।

6. 

   उस वर्ग की कल्पना करें जिसके क्षेत्र की आप गणना करना चाहते हैं। उत्तर, जो प्रारंभिक संख्या का वर्गमूल है, द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाएगा, जो एक क्षेत्र वर्ग (आरंभिक संख्या) की लंबाई का वर्णन करता है। इसमें मौजूद दशमलव स्थानों के लिए मान और उनका प्रतिनिधित्व करते हैं। इस परिभाषा को रखने का एक अन्य तरीका यह है कि दो दशमलव स्थानों के साथ उत्तर के मामले में, तीन दशमलव स्थानों के साथ एक उत्तर के मामले में, और इसी तरह।
   • उदाहरण में,। याद रखें कि यह इकाइयों में और दसियों में उत्तर का प्रतिनिधित्व करता है। एक उदाहरण के रूप में, यह संख्या में परिणाम देगा। यदि यह वर्ग के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, तो यह सबसे बड़े आंतरिक वर्ग के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, सबसे छोटे आंतरिक वर्ग के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है और शेष आयतों में से प्रत्येक के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है। इस लंबी और जटिल प्रक्रिया का प्रदर्शन करते समय, आपके पास पूरा वर्ग क्षेत्र होगा, बस वर्गों और आयतों से गणना किए गए क्षेत्रों को अंदर जोड़ना होगा।

7. 

   से घटाना। दशमलव स्थानों का एक जोड़ा () गिराएं। अभिव्यक्ति वर्ग के लगभग पूरे क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है, जिसमें से सबसे बड़ा आंतरिक वर्ग घटाया गया था। बाकी, बदले में, उस द्वारा प्राप्त किया जा सकता है चरण 4 (ऊपर के उदाहरण में)। यहाँ, दोनों आयतों का क्षेत्रफल (सबसे छोटा वर्ग का क्षेत्रफल)।

8. 

   देखो, के रूप में भी लिखा है। उदाहरण में, आप पहले से ही जानते हैं () और (), और अब इसके मूल्य की गणना करना आवश्यक है। यह शायद पूर्णांक मान नहीं होगा, इसलिए आपको इसकी आवश्यकता है क्या सच में सबसे बड़ी पूरी संभावना की गणना करें जो स्थिति को संतुष्ट करती है। अंत में, आप के साथ छोड़ दिया जाएगा।

9. 

   ऑपरेशन हल करें। आगे बढ़ने के लिए, दसियों की स्थिति को बदलिए, दसियों की स्थिति को बदलिए (मान को गुणा करने के बराबर), इसे इकाइयों की स्थिति में रखिए और परिणाम को गुणा कीजिए। दूसरे शब्दों में, बस ऑपरेशन करें। यह निम्न राइट क्वाड्रेंट में लिखते समय (होने) के समान है चरण 4। पहले से मौजूद चरण 5, बदले में, आपको सबसे बड़ा पूर्णांक मान मिलेगा जो रिक्त स्थान में स्थिति को संतुष्ट करेगा।

10. 

    कुल क्षेत्रफल से क्षेत्रफल घटाएँ। इस क्षेत्र के परिणाम से क्षेत्र की अवहेलना हुई (और जिसका उपयोग अगले वर्गों की गणना करने के लिए किया जाएगा)।

11. 

    अगले दशमलव स्थान की गणना करने के लिए, बस प्रक्रिया को दोहराएं। बाईं ओर जाने के लिए और स्थिति को संतुष्ट करने वाले उच्चतम मान की तलाश करने के लिए अगली जोड़ी () के लिए नीचे स्क्रॉल करें। दो दशमलव स्थानों के साथ दो बार मान लिखने के बराबर (रिक्त स्थान में उच्चतम संभव दशमलव मान के लिए खोजें। जो पहले की तरह एक परिणाम कम या बराबर लाता है।

टिप्स

• यह विधि किसी भी आधार के साथ काम करती है - न कि केवल दशमलव (दशमलव) आधार।
• उदाहरण में, "आराम" पर विचार किया जा सकता है:
  
• एक वैकल्पिक विधि जो निरंतर भिन्न का उपयोग करती है वह इस सूत्र का अनुसरण करती है:
  
  एक उदाहरण में, वर्गमूल की गणना करने के लिए, पूर्णांक जिसका वर्ग सबसे प्रारंभिक संख्या से निकटता से मेल खाता है, इसलिए, ई। सूत्र में मान दर्ज करते समय और अनुमान को गोल करते हुए, यह पहले से ही परिणाम (न्यूनतम मान), या लगभग () लाता है। अगला शब्द होगा, या लगभग ()। प्रत्येक अतिरिक्त पद पिछले प्रयास के संबंध में सटीक के लगभग तीन दशमलव स्थानों को जोड़ता है।

चेतावनी

• दशमलव से जोड़े में दशमलव स्थानों को अलग करना याद रखें। उदाहरण के लिए, किस तरह से अलगाव, बेकार परिणाम लाएगा।