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• कदम
• टिप्स

सीधी रेखा के विपरीत, एक वक्र का ढलान लगातार बदलता रहता है क्योंकि यह ग्राफ के साथ आगे बढ़ता है।पथरी छात्रों को इस अवधारणा से परिचित कराती है कि इस ग्राफ के प्रत्येक बिंदु को ढलान या "परिवर्तन की तात्कालिक दर" के साथ वर्णित किया जा सकता है। स्पर्शरेखा रेखा उस ढलान के सापेक्ष एक सीधी रेखा है, जो ग्राफ पर उसी बिंदु से गुजरती है। यह पता लगाने के लिए कि स्पर्शरेखा समीकरण क्या है, आपको यह जानना होगा कि मूल समीकरण से व्युत्पन्न कैसे निकालें।

कदम

2 की विधि 1: स्पर्शरेखा के समीकरण का पता लगाना

1. 

   फ़ंक्शन और स्पर्शरेखा (अनुशंसित) स्केच करें। चार्ट आपको समस्या को ट्रैक करने और यह देखने में मदद करता है कि उत्तर समझ में आता है या नहीं। यदि आवश्यक हो तो एक रेखांकन कैलकुलेटर का उपयोग करके, ग्राफ पेपर के एक टुकड़े पर फ़ंक्शन को स्केच करें। दिए गए बिंदु से गुजरने वाली स्पर्शरेखा को आकर्षित करें (याद रखें कि यह उस बिंदु से होकर गुजरती है और वहां के ग्राफ़ की तरह ही ढलान है)।
   • उदाहरण 1: ग्राफ को दृष्टांत में स्केच करें। बिंदु (-6, 1) से गुजरने वाली स्पर्शरेखा को खींचें।
     आप अभी भी स्पर्शरेखा समीकरण को नहीं जानते हैं, लेकिन आप देख सकते हैं कि ढलान नकारात्मक है और इसकी y- अवरोधन भी नकारात्मक है (परवलय के शीर्ष से नीचे, y = -5.5 के मान के साथ)। यदि आपका अंतिम उत्तर इन विवरणों से मेल नहीं खाता है, तो आप त्रुटियों के लिए गणना की जांच कर सकते हैं।

2. 

   
   
   का समीकरण ज्ञात करने के लिए पहला क्रम व्युत्पन्न प्राप्त करें ढाल स्पर्श करने वाला। फ़ंक्शन f (x) के लिए, पहला व्युत्पन्न f '(x) f (x) के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा के ढलान के समीकरण को दर्शाता है। व्युत्पन्न करने के कई तरीके हैं। यहाँ एक सरल उदाहरण है जो बिजली नियम का उपयोग करता है:
   • उदाहरण 1 (प्रतियोगिता): ग्राफ फ़ंक्शन द्वारा वर्णित है
     डेरिवेटिव बनाते समय शक्तियों के नियम को याद रखें:।
     फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न f '(x) = (2) (0.5) x + 3 - 0 के बराबर होगा।
     f '(x) = x + 3. इस समीकरण के x के लिए कोई मान "a" दर्ज करें और परिणाम x = a के बिंदु पर f (x) के स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होगा।

3. 

   
   
   जांच किए जाने वाले बिंदु का x मान दर्ज करें। उस बिंदु के निर्देशांक को खोजने के लिए समस्या पढ़ें जिसका स्पर्शरेखा आप खोजना चाहते हैं। उस बिंदु के x निर्देशांक को f '(x) में दर्ज करें। परिणाम उस बिंदु पर स्पर्शरेखा का ढलान होगा।
   • उदाहरण 1 (प्रतियोगिता): समस्या में उल्लिखित बिंदु (-6, -1) है। F = (x) में स्वतंत्र चर के मान के रूप में x = -6 समन्वय का उपयोग करें:
     f '(- 6) = -6 + 3 = -3
     स्पर्शरेखा का ढलान -3 है।

4. 

   
   
   मौलिक रूप में स्पर्शरेखा समीकरण लिखें। एक रेखीय समीकरण के मूल रूप का प्रतिनिधित्व किया जाता है, जहां म ढलान (लाइन का ढलान) का प्रतिनिधित्व करता है और लाइन पर एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है। अब आपके पास उस फॉर्म में स्पर्शरेखा समीकरण लिखने के लिए आवश्यक सभी जानकारी है।
   • उदाहरण 1 (प्रतियोगिता):
     रेखा का ढलान -3 के बराबर है और, इसलिए,।
     स्पर्शरेखा बिंदु (-6, -1) से गुजरती है, ताकि अंतिम समीकरण द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सके।
     इसे सरल कीजिए
     .

5. 

   अपने ग्राफ पर समीकरण की पुष्टि करें। यदि आपके पास एक रेखांकन कैलकुलेटर है, तो मूल फ़ंक्शन और स्पर्शरेखा को यह सत्यापित करने के लिए सेट करें कि परिणाम सही है। यदि आप कागज पर काम कर रहे हैं, तो यह सुनिश्चित करने के लिए पिछले चार्ट पर लौटें कि प्रतिक्रिया में कोई त्रुटि नहीं है।
   • उदाहरण 1 (प्रतियोगिता): प्रारंभिक स्केच से पता चला कि स्पर्शरेखा का ढलान ऋणात्मक था, और y- अवरोधन -5.5 से नीचे था। हमारे द्वारा पाया जाने वाला स्पर्शरेखा समीकरण मौलिक रूप में y = -3x - 19 द्वारा दर्शाया गया है, जो दर्शाता है कि -3 ढलान और -19, y- अवरोधन का प्रतिनिधित्व करता है। दोनों विशेषताएँ प्रारंभिक भविष्यवाणियों के समान हैं।

6. 

   अधिक कठिन समस्या को हल करने का प्रयास करें। यहाँ फिर से पूरी प्रक्रिया का पालन किया जाता है। अब, लक्ष्य x = 2 पर स्पर्शरेखा खोजना है:
   • शक्ति नियम के साथ, पहला व्युत्पन्न समान होगा। यह फ़ंक्शन हमें दिखाएगा कि स्पर्शरेखा का ढलान क्या है।
   • एक बार x = 2, खोजें। यह x = 2 होने पर फ़ंक्शन का ढलान है।
   • ध्यान दें कि हमारे पास इस बिंदु पर बिंदु मान नहीं है, लेकिन सिर्फ एक x समन्वय है। यह जानने के लिए कि y समन्वय क्या है, प्रारंभिक कार्य में x = 2 दर्ज करें:। बिंदु (२.२ 2.) होगा।
   • मौलिक रूप में स्पर्शरेखा समीकरण लिखें:
     
     यदि आवश्यक हो, तो इसे y = 25x - 23 तक सरल करें।

विधि 2 का 2: संबंधित समस्याओं का निवारण

1. 

   एक ग्राफ के चरम बिंदुओं का पता लगाएं. ये वे बिंदु हैं जिन पर ग्राफ एक स्थानीय अधिकतम (किसी भी तरफ के बिंदु से अधिक बिंदु) या एक स्थानीय न्यूनतम (किसी भी तरफ सभी बिंदुओं से कम) तक पहुंचता है। स्पर्शरेखा में हमेशा इन बिंदुओं (क्षैतिज रेखा) पर 0 के बराबर एक ढलान होगा, जो जरूरी नहीं कि एक चरम बिंदु को इंगित करता है। जानें कि उन्हें यहां कैसे खोजना है:
   • एफ '(x) प्राप्त करने के लिए फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें, स्पर्शरेखा के ढलान के लिए समीकरण।
   • खोजने के लिए f '(x) = 0 को हल करें संभव के चरम बिंदु।
   • F '' (x) प्राप्त करने के लिए दूसरा व्युत्पन्न लें, जो समीकरण बताता है कि स्पर्शरेखा के ढलान कितनी जल्दी बदल जाते हैं।
   • प्रत्येक संभव चरम बिंदु के लिए, x दर्ज करें = समन्वय करें f '' (a) में यदि f '' (a) का मान धनात्मक है, तो स्थानीय न्यूनतम है । यदि f '' (a) का मान ऋणात्मक है, तो यह स्थानीय अधिकतम है। यदि f '' (a) का मान 0 के बराबर है, तो एक विभक्ति बिंदु है, एक चरम बिंदु नहीं है।
   • चाहे इसमें अधिकतम या न्यूनतम हो , y के समन्वय को खोजने के लिए f '' (a) का मान खोजें।

2. 

   सामान्य समीकरण ज्ञात कीजिए। एक विशेष बिंदु पर ढलान का "सामान्य" उस बिंदु से गुजरता है, लेकिन एक ढलान है जो एक स्पर्शरेखा के लंबवत है। सामान्य के समीकरण को खोजने के लिए, इस तथ्य का लाभ उठाएं कि उत्पाद (स्पर्शरेखा का ढलान)। (सामान्य का ढलान) = -1, जब दोनों ग्राफ पर एक ही बिंदु से गुजरते हैं। दूसरे शब्दों में:
   • एफ '(x), स्पर्शरेखा की ढलान का पता लगाएं।
   • यदि बिंदु x = पर है , उस स्थान पर स्पर्शरेखा के ढलान को खोजने के लिए f '(a) खोजें।
   • सामान्य की ढलान को खोजने के लिए गणना करें।
   • सामान्य समीकरण को मौलिक रूप में लिखें।

टिप्स

• यदि आवश्यक हो, तो सामान्य में प्रारंभिक समीकरण को फिर से लिखना शुरू करें:
  f (x) =… या y =…