विषय

• कदम
• सामुदायिक प्रश्न और उत्तर
• टिप्स
• चीजें आप की आवश्यकता होगी

अन्य खंड

गणित में, फैक्टरिंग संख्याओं या भावों को खोजने का कार्य है जो किसी दिए गए संख्या या समीकरण को बनाने के लिए एक साथ गुणा करते हैं। बुनियादी बीजगणित समस्याओं को हल करने के उद्देश्य से सीखने के लिए फैक्टरिंग एक उपयोगी कौशल है; द्विघात समीकरणों और बहुपद के अन्य रूपों से निपटने के दौरान सक्षम कारक की क्षमता लगभग आवश्यक हो जाती है। फैक्टरिंग को सरल बनाने के लिए बीजीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए उपयोग किया जा सकता है। फैक्टरिंग भी आपको कुछ संभावित जवाबों को खत्म करने की क्षमता प्रदान कर सकता है जितना आप मैन्युअल रूप से हल करने में सक्षम होंगे।

कदम

विधि 1 की 3: फैक्टरिंग संख्या और मूल बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ

1. 

   एकल संख्याओं पर लागू होने पर फैक्टरिंग की परिभाषा को समझें। फैक्टरिंग वैचारिक रूप से सरल है, लेकिन, व्यवहार में, जटिल समीकरणों पर लागू होने पर चुनौतीपूर्ण साबित हो सकता है। इस वजह से, सरल संख्याओं के साथ शुरू करके फैक्टरिंग की अवधारणा को प्राप्त करना सबसे आसान है, फिर अधिक उन्नत अनुप्रयोगों पर आगे बढ़ने से पहले सरल समीकरणों पर जाएं। एक दिया गया नंबर कारकों वे संख्याएँ हैं जो उस संख्या को देने के लिए गुणा करती हैं। उदाहरण के लिए, 12 के कारक 1, 12, 2, 6, 3 और 4 हैं, क्योंकि 1 × 12, 2 × 6 और 3 × 4 सभी समान 12 हैं।
   • इसके बारे में सोचने का एक और तरीका यह है कि किसी दिए गए नंबर के कारक वह संख्याएं हैं जिसके द्वारा वह है सम विभाजनीय.
   • क्या आप संख्या 60 के सभी कारकों का पता लगा सकते हैं? हम संख्या 60 का उपयोग विभिन्न प्रकार के उद्देश्यों (एक घंटे में एक मिनट, एक मिनट में सेकंड, आदि) के लिए करते हैं क्योंकि यह संख्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला द्वारा समान रूप से विभाज्य है।
     • 60 के कारक 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 और 60 हैं।

2. 

   
   
   यह समझें कि परिवर्तनशील भावों को भी हल किया जा सकता है। जिस तरह अकेला नंबर फैक्टर किया जा सकता है, उसी तरह न्यूमेरिक गुणांक वाले वेरिएबल्स को भी फैक्टर किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, बस चर के गुणांक के कारकों का पता लगाएं।यह जानना कि कारक चर कैसे बीजगणितीय समीकरणों को सरल बनाने के लिए उपयोगी है, जो चर का हिस्सा हैं।
   • उदाहरण के लिए, चर 12x को 12 और x के कारकों के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। हम 12x को 3 (4x), 2 (6x) आदि के रूप में लिख सकते हैं, 12 में से जो भी हमारे उद्देश्यों के लिए सबसे अच्छा है।
     • हम कारक 12x तक भी जा सकते हैं कई बार। दूसरे शब्दों में, हमें 3 (4x) या 2 (6x) के साथ रुकना नहीं है - हम क्रमशः 4x और 6x को 3 (2 (2x) और 2 (3 (2x)) देने के लिए कर सकते हैं। जाहिर है, ये दोनों भाव बराबर हैं।

3. 

   
   
   कारक बीजीय समीकरणों के गुणन के वितरण गुण को लागू करें। गुणकों के साथ संख्या और चर दोनों को कैसे फैक्टर करें, इस बारे में अपने ज्ञान का उपयोग करते हुए, आप उन बीजों के समीकरणों को सरल करके बीजीय समीकरणों में पाए जाने वाले कारकों का पता लगाकर सरल बीजीय समीकरणों को सरल बना सकते हैं। आमतौर पर, समीकरण को यथासंभव सरल बनाने के लिए, हम सबसे बड़े सामान्य कारक की खोज करने की कोशिश करते हैं। यह सरलीकरण प्रक्रिया गुणन की वितरणशील संपत्ति के कारण संभव है, जो बताता है कि किसी भी संख्या के लिए a, b, और c, a (b + c) = ab + ac.
   • आइए एक उदाहरण समस्या का प्रयास करें। बीजगणितीय समीकरण को 12 x + 6 करने के लिए, सबसे पहले, 12x और 6. 6 का सबसे बड़ा सामान्य गुणन ज्ञात करने का प्रयास करते हैं। सबसे बड़ी संख्या है जो समान रूप से 12x और 6 दोनों में विभाजित होती है, इसलिए हम समीकरण को 6 (2x +) में सरल कर सकते हैं। 1)।
   • यह प्रक्रिया नकारात्मक और भिन्न के समीकरणों पर भी लागू होती है। x / 2 + 4, उदाहरण के लिए, 1/2 (x + 8) को सरल बनाया जा सकता है, और -7x + -21 को -7 (x + 3) के लिए फैक्टर किया जा सकता है।

3 की विधि 2: द्विघात समीकरणों को फैक्टर करना

1. 

   
   
   सुनिश्चित करें कि समीकरण द्विघात रूप में है (अक्ष + bx + c = 0)। द्विघात समीकरण, कुल्हाड़ी + bx + c = 0 के होते हैं, जहाँ a, b, और c संख्यात्मक स्थिरांक होते हैं और 0 नहीं के बराबर होते हैं (ध्यान दें कि कर सकते हैं बराबर 1 या -1)। यदि आपके पास एक चर (x) है जिसमें x की दूसरी शक्ति के लिए एक या एक से अधिक शब्द हैं, तो आप आमतौर पर समान बीजीय संचालनों का उपयोग करते हुए समीकरणों को शिफ्ट कर सकते हैं। एक बराबर चिह्न और कुल्हाड़ी के एक तरफ 0 प्राप्त करने के लिए। दूसरी तरफ आदि।
   • उदाहरण के लिए, आइए बीजगणितीय समीकरण पर विचार करें। 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 को x + 6x + 9 = 0 तक सरल किया जा सकता है, जो कि द्विघात रूप में है।
   • X, x, x आदि की अधिक शक्तियों वाले समीकरण द्विघात समीकरण नहीं हो सकते। वे घन समीकरण, द्विघात समीकरण हैं, और इसी तरह, जब तक कि समीकरण को 2 की शक्ति के ऊपर x की इन शर्तों को समाप्त करने के लिए सरलीकृत नहीं किया जा सकता है।

2. 

   द्विघात समीकरणों में जहाँ a = 1, कारक से (x + d) (x + e), जहाँ d × e = c और d + e = b होता है। यदि आपका द्विघात समीकरण यह x + bx + c = 0 के रूप में है (दूसरे शब्दों में, यदि x शब्द = 1 का गुणांक है), तो यह संभव है (लेकिन गारंटी नहीं) कि अपेक्षाकृत सरल शॉर्टकट का उपयोग कारक के लिए किया जा सकता है समीकरण। दो संख्याएँ खोजें जो दोनों को c बनाने के लिए गुणा करें तथा बी बनाने के लिए जोड़ें। एक बार जब आप इन दो नंबरों को डी और ई पाते हैं, तो उन्हें निम्नलिखित अभिव्यक्ति में रखें: (X + घ) (x + ई)। ये दो शब्द, जब एक साथ गुणा होते हैं, तो आपके द्विघात समीकरण का उत्पादन करते हैं - दूसरे शब्दों में, वे आपके द्विघात समीकरण के कारक हैं।
   • उदाहरण के लिए, चलिए द्विघात समीकरण x + 5x + 6 = 0. 3 और 2 को 6 बनाने के लिए एक साथ गुणा करते हैं और 5 बनाने के लिए भी जोड़ते हैं, इसलिए हम इस समीकरण को (x + 3) (x + 2) सरल कर सकते हैं।
   • इस मूल शॉर्टकट में थोड़ा बदलाव समीकरण में मामूली बदलाव के लिए मौजूद है:
     • यदि द्विघात समीकरण x-bx + c के रूप में है, तो आपका उत्तर इस रूप में है: (x - _) (x - _)।
     • यदि यह x + bx + c के रूप में है, तो आपका उत्तर इस तरह दिखता है: (x + _) (x + _)।
     • यदि यह x-bx-c के रूप में है, तो आप इसका उत्तर प्रपत्र (x + _) (x - _) के रूप में देते हैं।
   • नोट: रिक्त स्थान में संख्याएं भिन्न या दशमलव हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण x + (21/2) x + 5 = 0 कारक (x + 10) (x + 1/2)।

3. 

   यदि संभव हो तो, निरीक्षण द्वारा कारक। मानो या न मानो, द्विघात समीकरणों के लिए, फैक्टरिंग के स्वीकृत साधनों में से एक समस्या की जांच करने के लिए है, तो बस संभावित उत्तर पर विचार करें जब तक कि आप सही नहीं पाते। इसे निरीक्षण द्वारा फैक्टरिंग के रूप में भी जाना जाता है। यदि समीकरण फार्म में है कुल्हाड़ी + bx + c और a> 1, तो आपके फैक्टर का उत्तर फॉर्म (dx +/- _) (ex +/- _) के रूप में होगा, जहां d और e नॉनजेरो संख्यात्मक स्थिरांक हैं: गुणा एक बनाने के लिए। या तो d या e (या दोनों) कर सकते हैं नंबर 1 हो, हालांकि यह जरूरी नहीं है। यदि दोनों 1 हैं, तो आप अनिवार्य रूप से ऊपर वर्णित शॉर्टकट का उपयोग करते हैं।
   • आइए एक उदाहरण समस्या पर विचार करें। 3x - 8x + 4 पहले तो डराने वाला लगता है। हालाँकि, जब हमें पता चलता है कि 3 में केवल दो कारक (3 और 1) हैं, तो यह आसान हो जाता है, क्योंकि हम जानते हैं कि हमारा उत्तर फॉर्म (3x +/- _) (x +/-- _) के रूप में होना चाहिए। इस स्थिति में, दोनों रिक्त स्थानों को -2 जोड़ने से सही उत्तर मिलता है। -2 × 3x = -6x और -2 × x = -2x। -6x और -2x जोड़ने -8x। -2 × -2 = 4, इसलिए हम देख सकते हैं कि कोष्ठक में फैले हुए शब्द मूल समीकरण बनने के लिए गुणा करते हैं।

4. 

   वर्ग पूरा करके हल करें। कुछ मामलों में, एक विशेष बीजगणितीय पहचान का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को जल्दी और आसानी से फैक्टर किया जा सकता है। प्रपत्र x + 2xh + h = (x + h) के किसी भी द्विघात समीकरण। इसलिए, यदि, आपके समीकरण में, आपका b मान आपके c मान के वर्गमूल से दोगुना है, तो आपके समीकरण को (x + (sqrt (c))) में विभाजित किया जा सकता है।
   • उदाहरण के लिए, समीकरण x + 6x + 9 इस रूप में फिट बैठता है। 3 9 है और 3 × 2 है। 6. तो, हम जानते हैं कि इस समीकरण का तथ्यात्मक रूप (x + 3) (x + 3), या (x + 3) है।

5. 

   द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कारकों का उपयोग करें। भले ही आप अपने द्विघात अभिव्यक्ति को कैसे प्रभावित करें, एक बार यह तथ्यपूर्ण हो जाए, तो आप प्रत्येक कारक को शून्य और हल करने के लिए सेट करके x के मान के संभावित उत्तर पा सकते हैं। चूंकि आप ऐसे एक्स के मूल्यों की तलाश कर रहे हैं जो आपके समीकरण को शून्य के बराबर बनाते हैं, एक्स का एक मूल्य जो आपके दोनों कारकों को समान शून्य बनाता है, आपके द्विघात समीकरण के लिए एक संभावित उत्तर है।
   • आइए समीकरण x + 5x + 6 = 0. पर लौटें। यह समीकरण (x + 3) (x + 2) = 0 के बराबर है। यदि दोनों में से कोई भी कारक 0 के बराबर है, तो पूरा समीकरण 0 के बराबर है, इसलिए x के लिए हमारे संभावित उत्तर ऐसी संख्याएँ हैं जो (x + 3) और (x + 2) बराबर 0. ये संख्याएँ क्रमशः -3 और -2 हैं।

6. 

   अपने उत्तरों की जाँच करें - उनमें से कुछ बाहरी हो सकते हैं! जब आपको x के लिए आपके संभावित उत्तर मिल जाएं, तो उन्हें अपने मूल समीकरण में वापस देखें कि क्या वे वैध हैं। कभी-कभी, जो उत्तर आपको मिलते हैं नहीं जब वापस प्लग इन किया जाता है तो मूल समीकरण को बराबर शून्य का कारण बनता है बाहरी और उनकी अवहेलना करें।
   • मान लें कि प्लग -2 और x को x + 5x + 6 = 0. सबसे पहले, -2:
     • (-2) + 5(-2) + 6 = 0
     • 4 + -10 + 6 = 0
     • 0 = 0. यह सही है, इसलिए -2 एक मान्य उत्तर है।
   • अब, आइए कोशिश करते हैं -3:
     • (-3) + 5(-3) + 6 = 0
     • 9 + -15 + 6 = 0
     • 0 = 0. यह सही भी है, इसलिए -3 भी एक मान्य उत्तर है।

विधि 3 की 3: समीकरणों के अन्य रूपों को फैक्टर करना

1. 

   यदि समीकरण ए-बी के रूप में है, तो इसे (ए + बी) (ए-बी) के रूप में देखें। बुनियादी चतुर्भुज की तुलना में अलग-अलग दो चर कारकों के साथ समीकरण। किसी समीकरण के लिए ए-बी जहां ए और बी 0 नहीं के बराबर है, समीकरण कारक (ए + बी) (ए-बी) के लिए।
   • उदाहरण के लिए, समीकरण 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y)।

2. 

   यदि समीकरण a + 2ab + b के रूप में है, तो इसे (a + b) कारक करें। ध्यान दें कि, यदि ट्रिनोमियल रूप में है a-2ab + b, फैक्टरेड फॉर्म थोड़ा अलग है: (ए-बी)।
   • समीकरण 4x + 8xy + 4y को 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। अब हम देख सकते हैं कि यह सही रूप में है, इसलिए हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि हमारे समीकरण कारक (2x + 2y)

3. 

   यदि समीकरण ए-बी के रूप में है, तो इसे (ए-बी) (ए + एबी + बी) में बदल दें। अंत में, यह उल्लेख करता है कि क्यूबिक्स और यहां तक ​​कि उच्च-क्रम समीकरणों को फैक्टर किया जा सकता है, हालांकि फैक्टरिंग प्रक्रिया जल्दी निषेधात्मक हो जाती है।
   • उदाहरण के लिए, 8x - 27y फ़ैक्टर टू (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) 9%)

सामुदायिक प्रश्न और उत्तर

मैं साधारण जोड़ कैसे कर सकता हूं?

दो संख्याओं के लिए एक सामान्य कारक ज्ञात कीजिए। उदाहरण के लिए, 6 + 8, 6 और 8 के लिए दो का एक कारक साझा करें। फिर आप इसे 2 (3 + 4) के रूप में फिर से लिख सकते हैं।

मैं कैसे कारक -24x + 4x ^ 2 होगा?

दोनों शब्दों में कारक के रूप में 4x है। इसलिए, -24x + 4x² = 4x (-6 + x) = 4x (x - 6)।

क्या आप एक आसान समस्या प्रदर्शित कर सकते हैं? मेरे पास 42r - 18 से कारक जैसी समस्याएं हैं।

42r और 18 का एक सामान्य कारक खोजें, उदा। 6. यह संख्या ब्रैकेट के बाहर 6 (...) पर जाएगी। फिर आपके द्वारा मूल संख्या को 6 से विभाजित करें। हम 7r-3 के साथ समाप्त करते हैं। यह अंतिम उत्तर देने के लिए ब्रैकेट के अंदर जाएगा: 6 (7r-3)। आप फिर से कोष्ठक का विस्तार करके अपने उत्तर की जांच कर सकते हैं: यदि उत्तर आपके साथ शुरू हुआ है, तो उत्तर सही है!

Sqrt / 4। यह समीकरण बगुला के सूत्र के प्रमाण का हिस्सा है क्या आप दिखा सकते हैं, कदम से कदम, यह कैसे कारक है?

"एक रूट का अनुमान लगाएं" विधि का उपयोग करें। यह कहना कि यह बहुत बड़ा संकेत है। जब भी a + b = c (पतित त्रिकोण) आपकी अभिव्यक्ति समान हो। इसका मतलब है कि (ए + बी-सी) एक कारक है। समरूपता (ए-बी + सी) और (-ए + बी + सी) भी कारक हैं। उन लोगों को विभाजित करें और देखें कि क्या बचा है।

मैं 4x ^ 3 + 8x को कैसे फैक्ट करूं?

4x (x² + 2)।

मैं x ^ 2 + 6x + 9 को कैसे कारक बनाऊं?

x + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = (x + 3) +

मैं कैसे कारक -3 - पी?

दोनों ही शब्दों के लिए सामान्य कारक -1 है। तो -3 - पी = -1 (3 + पी)। आप इसे भी लिख सकते हैं - (3 + p)। किसी भी तरह से मूल्य समान है।

मैं 5a + कुल्हाड़ी - 2b + को किस तरह से फैक्टर करूं?

a (5 + x) - b (2 - y)।

2x ^ 2 - 7x-6 = 0 के क्या कारक हैं? मैं उपरोक्त किसी भी नियम से काम नहीं कर सकता

आप सही हैं, यह कारक नहीं है।

मैं 5a - 10av कैसे करूँ?

दोनों शर्तों को 5 और ए के रूप में फैक्टर किया जा सकता है, इसलिए हम ब्रैकेट के बाहर 5 ए रखते हैं: 5 ए (1x - 2 वी)।

और उत्तर देखें

• 
  
  बीजगणित करते समय एल कैसे फैक्ट करता है? उत्तर

टिप्स

• a-b कारक योग्य है, a + b isn’t factorable
• याद रखें कि कारक स्थिरांक कैसे मदद करते हैं।
• फैक्टरिंग प्रक्रिया में भिन्नता से सावधान रहें और उनके साथ सही और सावधानीपूर्वक काम करें।
• यदि आपके पास x + bx + (b / 2) फॉर्म में एक त्रिनोमियल है, तो फैक्टरेड फॉर्म (x + (b / 2)) है। (वर्ग पूरा करते समय आपकी यह स्थिति हो सकती है।)
• याद रखें कि a0 = 0 (शून्य-उत्पाद गुण)।

चीजें आप की आवश्यकता होगी

• कागज़
• पेंसिल
• गणित पुस्तक (यदि आवश्यक हो)