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• कदम
• टिप्स

जिन लोगों को गणित में कठिनाई होती है, उनके लिए एक वर्गमूल के प्रतीक को देखकर ठंड लग सकती है। हालांकि, इस ऑपरेटर से जुड़ी समस्याएं उतनी मुश्किल नहीं हैं जितनी वे दिखाई देते हैं। कभी-कभी, सरल वर्गमूल समस्याएं एक सरल गुणन या विभाजन के रूप में आसान हो सकती हैं। दूसरी ओर, अधिक जटिल समस्याएं अधिक काम हो सकती हैं। फिर भी, सही दृष्टिकोण के साथ, वे सभी आसान दिखेंगे। अब वर्गमूल की समस्याओं का अभ्यास करना शुरू करें और गणित के इस नए कौशल को जानें उग्र!

कदम

3 का भाग 1: वर्ग और वर्गमूल की अवधारणा को समझें

1. 

   वर्गमूल समझने से पहले, यह समझ लें कि किसी संख्या का वर्ग क्या है। यह समझना आसान है। एक संख्या को वर्गाकार करने के लिए, बस इसे अपने आप से गुणा करें। उदाहरण के लिए, 3 वर्ग 3 × 3 = 9 के समान है, और 9 वर्ग 9 × 9 = 81 के समान है। वर्गों को उठाए जाने वाले संख्या के ऊपरी दाईं ओर एक छोटे "2" द्वारा चिह्नित किया जाता है, इस तरह: 3, 9, 100 और इतने पर।
   • अवधारणा का अभ्यास करने के लिए, कुछ और संख्याओं को वर्ग करने का प्रयास करें। याद रखें, एक संख्या को चुकाना केवल इसे अपने आप से गुणा करना है। आप इसे नकारात्मक संख्याओं के साथ भी कर सकते हैं, लेकिन याद रखें कि इस मामले में उत्तर हमेशा सकारात्मक होगा। उदाहरण के लिए, -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   वर्गमूल को खोजने के लिए, पोटेंशियल के "व्युत्क्रम" को ढूंढें। जड़ प्रतीक (root, जिसे "कट्टरपंथी" भी कहा जाता है) का मूल रूप से प्रतीक का "विपरीत" होता है। जब आप एक कट्टरपंथी देखते हैं, तो अपने आप से पूछें, "मैं किस संख्या को अपने आप से गुणा कर सकता हूं ताकि परिणाम कट्टरपंथी के भीतर की संख्या हो?" उदाहरण के लिए, जब आप √ (9) देखते हैं, तो उस संख्या को खोजने का प्रयास करें, जो चुकता है, नौ बराबर है। इस मामले में, जवाब होगा तीनक्योंकि 3 = 9।
   • एक अन्य उदाहरण: चलो 25 (25 (25)) का वर्गमूल ज्ञात करते हैं। इसका मतलब है कि हमें उस संख्या को खोजने की आवश्यकता है जो कि चुकता है, 25 के बराबर है। चूंकि 5 = 5 × 5 = 25 है, हम कह सकते हैं कि we (25) = 5.
   • आप इस ऑपरेशन को एक वर्ग उत्थान "पूर्ववत" करने के तरीके के रूप में भी सोच सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमें √ (64), 64 का वर्गमूल खोजने की आवश्यकता है, तो हमें 64 के बारे में सोचना चाहिए। 8. चूंकि वर्गमूल मूल रूप से एक ऊंचाई वाले वर्ग को "रद्द" करता है, इसलिए हम कह सकते हैं कि √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   सही वर्ग संख्या और अपूर्ण वर्ग संख्या के बीच अंतर को समझें। अब तक, हमारी वर्गमूल समस्याओं के उत्तर पूरे संख्याएँ हैं। यह हमेशा नहीं होगा। वास्तव में, एक विकिरण ऑपरेशन का परिणाम कभी-कभी लंबे, जटिल दशमलव में परिणाम हो सकता है। यदि किसी संख्या का मूल पूर्णांक है, अर्थात यदि वह अंश या दशमलव नहीं है, तो उसे कहा जाएगा उचित चकोर। ऊपर दिखाए गए सभी उदाहरण (9, 25 और 64) सही वर्ग हैं क्योंकि उनकी जड़ें पूर्णांक (3, 5 और 8, क्रमशः) हैं।
   • दूसरी ओर, वे संख्याएँ जिनकी जड़ें पूरी नहीं हैं, को कहा जाता है अपूर्ण वर्ग। इनमें से किसी एक संख्या की जड़ की गणना करते समय, हम एक परिणाम प्राप्त करेंगे जो आमतौर पर एक अंश या दशमलव होगा। कभी-कभी, इसमें शामिल दशमलव काफी जटिल हो सकता है, उदाहरण के लिए: 13 (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   कम से कम पहले 12 पूर्ण वर्गों को याद करें। जैसा कि हमने दिखाया है, किसी संख्या के वर्गमूल की गणना करना बहुत आसान हो सकता है! इसलिए पहले दर्जन परिपूर्ण वर्गों के वर्गमूलों को याद करने के लिए समय निकालना महत्वपूर्ण है। वे परीक्षणों पर बहुत अधिक दिखाई देते हैं, इसलिए उन्हें याद रखना आपको बहुत समय बचा सकता है। पहले 12 सही वर्ग हैं:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   जब संभव हो, सही वर्गों को हटाकर जड़ों को सरल बनाएं। अपूर्ण वर्गों के वर्गमूल को खोजना काफी मुश्किल हो सकता है, खासकर यदि कोई कैलकुलेटर उपलब्ध नहीं है (नीचे दिए गए अनुभागों में, आप प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए चाल सीखेंगे)। हालांकि, गणनाओं को आसान बनाने के लिए जड़ के अंदर संख्याओं को सरल करना कभी-कभी संभव होता है। बस संख्या को रूट के अंदर कारकों में विभाजित करें, फिर उन कारकों की जड़ की गणना करें जो एकदम सही वर्ग हैं और मूल के बाहर उत्तर लिखें। यह दिखने में जितना आसान है। बेहतर समझने के लिए नीचे देखें!
   • मान लीजिए कि आपको 900 की जड़ खोजने की जरूरत है। शुरू में, यह काफी मुश्किल काम है! अगर हम 900 को कारकों में विभाजित करें तो सब कुछ बहुत आसान है। संख्या "x" के कारक संख्याओं का एक समूह है, यदि गुणा किया जाता है, तो परिणाम "x" में होता है। उदाहरण के लिए, हम 1 × 6 और 2 × 3 को गुणा करके 6 प्राप्त कर सकते हैं, इसलिए 6 के कारक 1, 2, 3 और 6 हैं।
   • 900 के साथ काम करने के बजाय, जो थोड़ा अजीब हो सकता है, चलो इसे 9 × 100 के रूप में लिखते हैं। अब, 9 के रूप में, जो एक पूर्ण वर्ग है, 100 से अलग है, हम इसकी वर्गमूल की गणना कर सकते हैं। 100 (9 × 100) = √ (9) × 100 (100) = 3 × √ (100)। अर्थात, √ (900) = 3√(100).
   • हम अभी भी दो और समय को सरल बना सकते हैं, 100 को कारकों 25 और 4. √ (100) = √ (25 × 4) = 4 (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. में विभाजित करते हुए, हम यह कह सकते हैं कि two (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   नकारात्मक संख्याओं की जड़ की गणना करने के लिए काल्पनिक संख्याओं का उपयोग करें। अपने आप से पूछें, कौन सी संख्या स्वयं -16 से गुणा होती है? यह 4 या -4 नहीं है, क्योंकि इन दो नंबरों का वर्ग 16 है। क्या हमें हार माननी चाहिए? वास्तव में, केवल वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके -16 या किसी अन्य ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल लिखने का कोई तरीका नहीं है। ऐसे मामलों में, हमें नकारात्मक संख्या के वर्गमूल को बदलने के लिए काल्पनिक संख्याओं (आमतौर पर अक्षरों या प्रतीकों के रूप में) का उपयोग करना चाहिए। उदाहरण के लिए, "i", का उपयोग -1 के वर्गमूल को दर्शाने के लिए किया जाता है। एक सामान्य नियम के रूप में, एक ऋणात्मक संख्या की जड़ हमेशा (या कम से कम शामिल) एक काल्पनिक संख्या होगी।
   • याद रखें, भले ही काल्पनिक संख्याओं को वास्तविक संख्याओं द्वारा प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है, फिर भी उन्हें कुछ तरीकों से माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक नकारात्मक संख्या "-x" की जड़, यदि चुकता है, तो "-x" में भी परिणाम होता है, किसी भी अन्य जड़ की तरह। अर्थात्, मैं = -1

भाग 2 का 3: लॉन्ग डिविजन-जैसे तरीकों का उपयोग करना

1. 

   वर्गाकार मूल समस्या को मानो वह एक लंबा विभाजन था। थोड़ा श्रमसाध्य होने के बावजूद, आप कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना जटिल अपूर्ण वर्ग संख्याओं के वर्गमूल को पा सकते हैं। विधि (या एल्गोरिथ्म) समान (लेकिन समान नहीं) लंबे विभाजन की है। लंबा विभाजन यह है कि पारंपरिक पद्धति का उपयोग हाथों से विभाजनों की गणना के लिए किया जाता है।
   • समस्या की प्रारंभिक स्थिति से शुरू करें, जो लंबे विभाजन के समान होगी। उदाहरण के लिए, मान लें कि आपको 6.45 की जड़ खोजने की आवश्यकता है, जो निश्चित रूप से एक पूर्ण वर्ग नहीं है। सबसे पहले, हम एक वर्गमूल चिन्ह (√) लिखते हैं और फिर हम इसके अंदर अपना नंबर डालते हैं। फिर, हमें प्रतीक the से एक रेखा बनानी चाहिए, जब तक कि यह पूरी संख्या को कवर न कर दे, इसे एक बॉक्स के अंदर छोड़ दें, जहां एक लंबा विभाजन विभाजक है। अंतर यह है कि यहाँ, उत्तर उस बॉक्स के ऊपर होगा, नीचे नहीं, जैसा कि पारंपरिक विभाजन में है। जब हम समाप्त हो जाते हैं, तो हमारे पास 6.45 की पूरी संख्या को कवर करते हुए एक लम्बी "we" चिन्ह होगा।
   • आइए इस बॉक्स पर नंबर लिखें, इसलिए स्पेस छोड़ें।

2. 

   अंकों को जोड़ियों में समूह बनाएं। समस्या को हल करने के लिए, दशमलव बिंदु के साथ शुरू होने वाले जोड़े में स्टेम के अंदर संख्या के अंकों को समूहित करें। आप उन्हें अलग करने के लिए जोड़े के बीच छोटे निशान (जैसे कि अवधि, बार, अल्पविराम, आदि) बना सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, हमें 6.45 को तीन जोड़े में विभाजित करना चाहिए, जैसे: 6-,45-00। देखें कि बाईं ओर एक कम अंक है, इसके साथ कोई समस्या नहीं है।

3. 

   सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिसका वर्ग पहले "समूह" के मान से कम या बराबर है। बाईं ओर संख्याओं की पहली जोड़ी से शुरुआत करें। सबसे बड़ी संख्या चुनें जिसका वर्ग "समूह" से कम या बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि समूह 37 था, तो 6 चुनें, क्योंकि 6 = 36 <37 लेकिन 7 = 49> 37. पहले समूह के ऊपर यह संख्या लिखें। यह उत्तर का पहला अंक है।
   • हमारे उदाहरण में, 6-, 45-00 में पहला समूह 6. पहला सबसे बड़ा नंबर है जिसका वर्ग 6 से कम या उसके बराबर है 2, क्योंकि 2 = 4. 6 से अधिक "2" लिखें जो कट्टरपंथी के अंदर है।

4. 

   उत्तर के पहले अंक (अभी जो संख्या हमें मिली है) को देखें और इसे दो से गुणा करें। अब, पहले समूह के नीचे परिणाम लिखें और अंतर खोजने के लिए एक घटाव प्रदर्शन करें। फिर, संख्याओं की अगली जोड़ी को नीचे स्क्रॉल करें, उन्हें उस अंतर में जोड़ दें जो हमने अभी पाया था। अंत में, अंतिम अंक को बाईं ओर उत्तर के पहले अंक को दोगुना करें और उसके बगल में एक स्थान छोड़ दें।
   • हमारे उदाहरण में, पहला कदम 2 के डबल को खोजना होगा, जो उत्तर का पहला अंक है। 2 × 2 = 4. फिर, हमें 6 को (हमारे पहले "समूह") से घटा देना चाहिए, 2 को उत्तर के रूप में प्राप्त करना चाहिए। अब, हमें 245 प्राप्त करने के लिए अगले समूह (45) पर जाने की आवश्यकता है। अंत में, हम बाईं ओर फिर से 4 लिखते हैं, दाईं ओर एक छोटा खाली स्थान छोड़ते हैं, जैसे: 4_।

5. 

   रिक्त स्थान भरें। अब, हमें बाईं ओर लिखे गए संख्या के बगल में रिक्त स्थान के स्थान पर एक अंक लगाने की आवश्यकता है। उस अंक को चुनें, जब रिक्त स्थान के साथ बाईं ओर संख्या से गुणा किया जाता है, जिसका अधिकतम मान होता है, लेकिन दाईं ओर की संख्या से कम होता है। यह थोड़ा जटिल लग सकता है, तो आइए समझने के लिए कुछ उदाहरण देखें। यदि वह संख्या जो नीचे चली गई, वह यह है कि दाईं ओर एक, 1700 है और दाईं ओर की संख्या 40_ है, हम रिक्त संख्या 4 से भरेंगे, क्योंकि 404 × 4 = 1616 <1700 और 405 × 4 = 2025 इस चरण में पाई गई संख्या उत्तर का दूसरा अंक होगी, इसलिए आप इसे स्टेम चिन्ह के ऊपर जोड़ सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, हमें 4_ × _ में रिक्त स्थान को भरने के लिए संख्या खोजने की आवश्यकता है जो उत्तर को यथासंभव बड़ा बनाता है, लेकिन 245 से कम या उसके बराबर है। हमारे मामले में, इसका उत्तर है 5क्योंकि 45 × 5 = 225 और 46 × 6 = 276।

6. 

   उत्तर लिखने के लिए रिक्त स्थान भरने वाली संख्याओं का उपयोग करना जारी रखें। इस संशोधित लंबी विभाजन विधि को तब तक जारी रखें जब तक कि आप उस संख्या को घटाकर शून्य न प्राप्त करना शुरू कर दें जो मूलक से उतरती है या जब तक आप सटीक स्तर तक नहीं पहुँचते। समाप्त होने पर, प्रत्येक चरण में रिक्त स्थान भरने के लिए उपयोग की जाने वाली संख्या (और, निश्चित रूप से, पहली संख्या जिसका हम उपयोग करते हैं) उत्तर अंक बनाएगी।
   • अपने उदाहरण को जारी रखते हुए, हम 225 को 245 से 20 तक लाने के लिए घटाएंगे। फिर, हम अंक पाने के लिए अंक 00 की संख्या को घटाकर 2000 प्राप्त करेंगे। कट्टरपंथी के ऊपर की संख्या को दोगुना करके, हमारे पास 25 × 2 = 50 है। रिक्त संख्या को 50 और × पर सेट करके। _ = / <2,000, हम प्राप्त करते हैं 3। इस बिंदु पर, हमारे पास कट्टरपंथी के बारे में "253" है। प्रक्रिया को फिर से दोहराते हुए, हमें अगले अंक के रूप में एक 9 मिलता है।

7. 

   उत्तर में अल्पविराम को सही स्थिति में रखें। जवाब खत्म करने के लिए, हमें अभी भी दशमलव बिंदु को सही जगह पर रखना होगा। यह भाग आसान है: सिर्फ कॉमा के उत्तर में कॉमा को उसी स्थिति में रखें जैसे कि रेडिकल के अंदर की संख्या में कॉमा। उदाहरण के लिए, यदि मूलांक के अंदर की संख्या 49.8 है, तो उत्तर में अल्पविराम को नीचे दिए गए स्थान के अनुरूप लगाएं, अर्थात 9 और 8 से ऊपर की दो संख्याओं के बीच।
   • हमारे उदाहरण में, कट्टरपंथी के भीतर की संख्या 6.45 है। उत्तर पाने के लिए, केवल अल्पविराम को 6 और 4 से ऊपर की संख्या के बीच रखें, जो इस मामले में क्रमशः 2 और 5 हैं, उत्तर पाने के लिए: 2,539.

भाग 3 की 3: त्वरित रूप से अपूर्ण वर्गों का अनुमान लगाना

1. 

   एक अनुमान के माध्यम से उत्तर प्राप्त करें। एक बार जब आप कुछ सही वर्गों की जड़ को जान लेते हैं, तो अपूर्ण वर्गों की जड़ को ढूंढना काफी आसान हो जाएगा। पिछले चरण में, हम कम से कम पहले बारह पूर्ण वर्गों और उनकी जड़ों को याद करने की सलाह देते हैं। अच्छी खबर यह है कि हम अनुमान का उपयोग उस अपूर्ण वर्ग की जड़ का एक अनुमान प्राप्त करने के लिए कर सकते हैं जो दो पूर्ण वर्गों के बीच है जो हम जानते हैं। उसके लिए, हमें वांछित संख्या की तुलना में पहला सही वर्ग बड़ा और आखिरी छोटा खोजने की आवश्यकता है, ताकि प्रश्न में संख्या दोनों के बीच हो। फिर, हमें यह पता लगाने की कोशिश करने की जरूरत है कि इन दोनों में से कौन सा सही वर्ग वांछित संख्या के करीब आता है।
   • उदाहरण के लिए, मान लें कि हमें 40 का वर्गमूल खोजने की आवश्यकता है। चूँकि हम अपने पूर्ण वर्ग को याद करते हैं, इसलिए हम कह सकते हैं कि 40 6 से 7 के बीच है, यानी 36 से 49 के बीच। चूंकि 40 से अधिक 6 है, इसलिए आपका वर्गमूल होगा 6 से अधिक। इसी तरह, यह 7 से कम है, इसकी जड़ 7 से कम होगी। 40, 49 की तुलना में 36 के करीब है, इसलिए हमारा उत्तर संभवतः 6 के करीब होगा। अगले चरणों में , हम अपने अनुमान की सटीकता बढ़ाएँगे।

2. 

   सटीक को एक दशमलव स्थान पर बढ़ाएं। एक बार जब आप दो लगातार सही वर्गों को ढूंढ लेते हैं जो एक ऐसी सीमा बनाते हैं जिसमें आपका नंबर होता है, तो बस अनुमान की सटीकता को उस बिंदु तक बढ़ाने की कोशिश करें जो आपको लगता है कि संतोषजनक है। अनुमान में सुधार करने के जितने अधिक प्रयास किए जाते हैं, सटीकता उतनी ही अधिक होती है। शुरू करने के लिए, पहले दशमलव स्थान के मूल्य का अनुमान लगाएं। इस अनुमान को सही नहीं होना चाहिए, लेकिन तर्क का उपयोग करके ऐसे मान का चयन करना होगा जो उत्तर के सबसे करीब होने की संभावना है, प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाएगा।
   • हमारे उदाहरण में, 40 के वर्गमूल के लिए एक स्वीकार्य अनुमान हो सकता है 6,4, क्योंकि हम पहले से ही जानते हैं कि उत्तर शायद 7 के मुकाबले 6 के करीब है।

3. 

   अनुमान को खुद से गुणा करें। जब तक आप बहुत भाग्यशाली नहीं होंगे, परिणाम शुरुआती संख्या (40, हमारे उदाहरण में) नहीं होगा। आपको सही उत्तर के करीब आने के लिए अनुमान को समायोजित करने की आवश्यकता होगी।यदि परिणाम प्रारंभिक संख्या (जो कि 40 से ऊपर है) से ऊपर है, तो कम अनुमान का प्रयास करें। इसी तरह, यदि परिणाम वांछित संख्या से कम है, तो अनुमान बढ़ाएं।
   • 6.4 × गुणा करके 6.4 × 6.4 = प्राप्त करना 40,96, जो हमारी प्रारंभिक संख्या से थोड़ा अधिक है।
   • अब, जैसा कि हमारा अनुमान सही मूल्य से ठीक ऊपर था, तो चलो इसे 6.3 × 6.3 = प्राप्त करने के लिए एक दसवें तक घटाते हैं 39,69। अब परिणाम हमारी मूल संख्या से थोड़ा कम था। इसका मतलब है कि 40 की जड़ कुछ संख्या है 6.3 और 6.4 के बीच। इसके अलावा, 39.69 40.96 से 40 के करीब है, हम जानते हैं कि रूट 6.3 के करीब होगा, 6.4 नहीं।

4. 

   यदि आवश्यक हो तो अनुमान में सुधार करना जारी रखें। इस बिंदु पर, यदि आप उत्तर से संतुष्ट हैं, तो अनुमान के रूप में पहले सन्निकटन में से एक का उपयोग करें। हालांकि, अगर आपको अधिक सटीक उत्तर की आवश्यकता है, तो बस अनुमान लगाने का प्रयास करें दूसरा दशमलव स्थान, पिछले दो (जो 6.3 और 6.4 के बीच है) के बीच एक मान का चयन करता है। इस पद्धति का उपयोग करके, हम उत्तर के लिए आवश्यक परिशुद्धता के आधार पर केवल तीन दशमलव स्थानों, चार, पांच और इसी तरह का अनुमान लगा सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, हम दो दशमलव स्थानों के लिए अपना अनुमान लगाने के लिए 6.33 चुन सकते हैं। 6.33 × 6.33 = 40.0689 प्राप्त करने के लिए 6.33 को खुद से गुणा करें। चूंकि यह परिणाम हमारी प्रारंभिक संख्या से थोड़ा ऊपर था, हम 6.32 जैसे थोड़े कम मूल्य का चयन कर सकते हैं। इस मामले में, 6.32 × 6.32 = 39.9424, आरंभिक संख्या से थोड़ा नीचे का परिणाम। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 40 की सही जड़ क्या है 6.32 और 6.33 के बीच। यदि आवश्यक हो, तो हम वांछित संख्या के मूल में तेजी से सटीक अनुमान प्राप्त करने के लिए इस पद्धति को जारी रख सकते हैं।

टिप्स

• यदि आपको त्वरित सुधार की आवश्यकता है, तो कैलकुलेटर का उपयोग करें। अधिकांश आधुनिक कैलकुलेटर तुरंत वर्ग जड़ों की गणना कर सकते हैं। सामान्य तौर पर, बस किसी भी संख्या को टाइप करें और वर्गमूल चिह्न के साथ बटन दबाएं। उदाहरण के लिए, 841 की जड़ को खोजने के लिए, उत्तर पाने के लिए बस 8, 4, 1 और फिर (to) दबाएं: 39.