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• कदम
• टिप्स

मैट्रिक्स का निर्धारक अक्सर पथरी, रैखिक बीजगणित और उन्नत ज्यामिति में उपयोग किया जाता है। अकादमिक दुनिया के बाहर, कंप्यूटर ग्राफिक्स इंजीनियर और प्रोग्रामर हर समय मैट्रिस और उनके निर्धारक का उपयोग करते हैं। यदि आप पहले से ही जानते हैं कि 2 x 2 मैट्रिक्स के निर्धारक को कैसे खोजना है, तो यहां आवश्यक अतिरिक्त संचालन अतिरिक्त, घटाव और गुणा होगा।

कदम

भाग 1 का 2: निर्धारक का पता लगाना

1. 

   3 x 3 मैट्रिक्स लिखें। हम इस मैट्रिक्स ए को कॉल करेंगे और ", | ए |" द्वारा दर्शाए गए निर्धारक को खोजने की कोशिश करेंगे। यहां मैट्रिक्स नोटेशन है जिसका हम उपयोग करेंगे और हमारे उदाहरण मैट्रिक्स:

2. 

   
   
   संदर्भ के रूप में एकल कॉलम या पंक्ति चुनें। उत्तर चयनित पंक्ति या स्तंभ की परवाह किए बिना समान होगा। अभी के लिए, पहली पंक्ति चुनें। बाद में हम आपको सिखाएंगे कि पंक्ति या कॉलम कैसे चुना जाए जिससे गणना आसान हो जाए।
   • आइए हमारे नमूना मैट्रिक्स ए सर्कल "1 5 3" ("ए" की पहली पंक्ति चुनें_{11 12 13}" मोटे तौर पर बोलना)।

3. 

   
   
   परिचालित सेट के पहले तत्व की पंक्ति और स्तंभ को हटा दें। तीन नंबरों के सेट के पहले तत्व को देखें जो परिक्रमा करते हैं और उस तत्व की पंक्ति और स्तंभ पर एक रेखा बनाते हैं, उन्हें समाप्त करते हैं। ऐसा करने के बाद, 4 नंबर बचे होंगे, जिसे 2 x 2 मैट्रिक्स के रूप में माना जाएगा।
   • हमारे उदाहरण में, संदर्भ रेखा "1 5 3" है। पहला तत्व पंक्ति 1 और कॉलम 1 में है, इसलिए उस पंक्ति और स्तंभ के सभी तत्वों को हटा दें। शेष संख्याओं को 2 x 2 मैट्रिक्स के रूप में समझिए:
   •  1  5 3
   •  2 4 7
   •  4 6 2

4. 

   
   
   2 x 2 मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं। याद रखें, मैट्रिक्स का निर्धारक है विज्ञापन - ई.पू.। आपने इस प्रक्रिया को 2 x 2 मैट्रिक्स तत्वों पर एक एक्स बनाकर और उत्पाद को "/" द्वारा चिह्नित किए गए तत्वों से घटाकर "" द्वारा सीखा होगा। हमने जो मैट्रिक्स पाया, उसके निर्धारक की गणना के लिए इस सूत्र का उपयोग करें।
   • हमारे उदाहरण में, मैट्रिक्स का निर्धारक = 4 * 2 - 7 * 6 = -34.
   • यह निर्धारक कहा जाता है छोटे मूल मैट्रिक्स में चुना गया तत्व। उस मामले में, हमने अभी सबसे छोटा पाया₁₁.

5. 

   चुने हुए तत्व द्वारा उत्तर को गुणा करें। याद रखें, आपने हटाने के लिए एक पंक्ति और स्तंभ चुनने के बाद एक संदर्भ पंक्ति (या स्तंभ) से एक तत्व चुना। इस तत्व को उस निर्धारक द्वारा गुणा करें जिसे आपने केवल 2 x 2 मैट्रिक्स के लिए गणना की है।
   • हमारे उदाहरण में, हम इसका चयन करते हैं₁₁, जिसका मूल्य 1 था। 1-* (-34) = प्राप्त करने के लिए गुणा -34 (2 x 2 का निर्धारक) = -34.

6. 

   जवाब का संकेत निर्धारित करें। अब, आपको उत्तर पाने के लिए 1 या -1 से गुणा करना होगा सहायक कारक चुने हुए तत्व का। उपयोग किया जाने वाला गुणक इस बात पर निर्भर करता है कि चुना हुआ तत्व 3 x 3 मैट्रिक्स में कहां था। यह जानने के लिए इस सरल तालिका को याद रखें कि किस गुणक का उपयोग करना है:
   • + - +
   • - + -
   • + - +
   • हम कैसे चुनते हैं₁₁+ के साथ चिह्नित, हम +1 से गुणा करेंगे (अर्थात, हम कुछ भी नहीं करते हैं)। जवाब अभी भी होगा -34.
   • संकेत खोजने का दूसरा तरीका सूत्र का उपयोग कर रहा है (-1)

7. 

   संदर्भ कॉलम या पंक्ति में दूसरे तत्व के लिए इस प्रक्रिया को दोहराएं। मूल 3 x 3 मैट्रिक्स पर लौटें, संख्याओं के सेट के साथ जिसे हमने पहले प्रसारित किया था। अगले तत्व के साथ भी यही प्रक्रिया दोहराएं:
   • तत्व की पंक्ति और कॉलम हटाएं। हमारे मामले में, होने के लिए तत्व का चयन करें₁₂ (जिसका मान 5 है)। पंक्ति एक (1 5 3) और कॉलम दो को हटाएं।
   • शेष तत्वों को 2 x 2 मैट्रिक्स के रूप में समझो। हमारे उदाहरण में, मैट्रिक्स है।
   • इस 2 x 2 मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं। सूत्र "विज्ञापन - bc" (2 * 2 - 7 * 4 = -24) का उपयोग करें।
   • 3 x 3 मैट्रिक्स के चुने हुए तत्व से गुणा करें। -24 * 5 = -120
   • निर्धारित करें कि क्या पाया गया मूल्य -1 से गुणा किया जाना चाहिए। साइन टेबल या सूत्र (-1) का उपयोग करें। हम तत्व को चुनते हैं₁₂, जो सिग्नल टेबल में "-" में है। इसलिए, हमें अपने उत्तर का चिन्ह बदलना चाहिए: (-1) * (- 120) = 120.

8. 

   तीसरे तत्व के साथ प्रक्रिया को दोहराएं। अभी भी एक कोफ़ेक्टर है जिसे हमें खोजने की आवश्यकता है। संदर्भ सेट में तीसरे पद के लिए "i" की गणना करें। यहाँ एक छोटे से कदम के लिए एक के cofactor खोजने के लिए कदम है₁₃ हमारे उदाहरण में:
   • प्राप्त करने के लिए पंक्ति 1 और कॉलम 3 हटाएं।
   • पाया गया मैट्रिक्स का निर्धारक 2 * 6 - 4 * 4 = -4 है।
   • तत्व से गुणा करें₁₃: -4 * 3 = -12.
   • को तत्व₁₃ तालिका में "+" है, इसलिए उत्तर है -12.

9. 

   प्राप्त तीन परिणाम जोड़ें। यह अंतिम चरण है। आपने पहले से ही तीन कॉफ़ैक्टर्स की गणना की है, जो संदर्भ सेट के प्रत्येक तत्व के लिए एक है। तीनों को एक साथ जोड़ें और आपको 3 x 3 मैट्रिक्स निर्धारक मिलेगा।
   • हमारे उदाहरण में, निर्धारक है -34 + 120 + -12 = 74.

भाग 2 का 2: समस्या को आसान बनाना

1. 

   संदर्भ सेट चुनें जिसमें सबसे अधिक शून्य हो। याद रखें, आप चुन सकते हैं कोई भी संदर्भ सेट के रूप में पंक्ति या स्तंभ। उत्तर चुने गए सेट की परवाह किए बिना समान होगा। यदि आप शून्य के साथ एक पंक्ति या स्तंभ चुनते हैं, तो आपको केवल गैर-अक्षीय तत्वों के कोफ़ेक्टर की गणना करने की आवश्यकता है। यहाँ स्पष्टीकरण है:
   • मान लीजिए कि आपने तत्वों के साथ पंक्ति 2 को चुना है₂₁, ए₂₂ और यह₂₃। इस समस्या को हल करने के लिए, हमें तीन अलग-अलग 2 x 2 मैट्रिक्स का विश्लेषण करना होगा। हम उन्हें ए कहेंगे₂₁, ए₂₂, और ए₂₃.
   • 3 x 3 मैट्रिक्स का निर्धारक है₂₁| ए₂₁| - ए₂₂| ए₂₂| + क₂₃| ए₂₃|.
   • अगर शर्तें हैं₂₂ और यह₂₃ दोनों 0 हैं, हमारा सूत्र बन जाता है₂₁| ए₂₁| - 0 * | ए₂₂| + 0 * | ए₂₃| = ए₂₁| ए₂₁| - 0 + 0 = ए₂₁| ए₂₁|। अब, हमें केवल एक तत्व के कोफ़ेक्टर की गणना करने की आवश्यकता है।

2. 

   मैट्रिक्स को सरल बनाने के लिए कॉलम जोड़ने का उपयोग करें। यदि आप एक पंक्ति के तत्वों को दूसरी रेखा से जोड़ते हैं, तो मैट्रिक्स का निर्धारक नहीं बदलेगा। वही कॉलम के लिए जाता है। आप इस प्रक्रिया को कई बार लागू कर सकते हैं या अधिक से अधिक शून्य प्राप्त करने के लिए जोड़ने से पहले एक स्थिर से मूल्यों को गुणा कर सकते हैं। इससे बहुत समय बच सकता है।
   • उदाहरण के लिए, मान लें कि आपके पास तीन पंक्तियों वाला एक सरणी है:
   • स्थिति में "9" को रद्द करने के लिए ए₁₁, हम दूसरी पंक्ति को -3 से गुणा कर सकते हैं और परिणाम को पहले जोड़ सकते हैं। नई पहली पंक्ति + = है।
   • नए मैट्रिक्स में कॉलम होंगे। का मान रीसेट करने के लिए कॉलम के साथ एक ही चाल का उपयोग करने का प्रयास करें₁₂ भी।

3. 

   त्रिकोणीय matrices के लिए सबसे तेज़ तरीका जानें। इन विशेष मामलों में, निर्धारक केवल मुख्य विकर्ण तत्वों का उत्पाद है, से₁₁ ऊपरी बाएँ कोने में जब तक₃₃ नीचे दायें कोने में। हम अभी भी 3 x 3 मैट्रिसेस के बारे में बात कर रहे हैं, लेकिन जो त्रिकोणीय हैं उनमें शून्य के अलावा अन्य तत्वों की विशिष्ट स्थिति है:
   • ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स: शून्य के अलावा सभी तत्व मुख्य विकर्ण पर या उसके ऊपर होंगे। नीचे सब कुछ शून्य है।
   • निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स: शून्य के अलावा सभी तत्व मुख्य विकर्ण या इसके नीचे होंगे। ऊपर सब कुछ शून्य होगा।
   • विकर्ण मैट्रिक्स: सभी गैर-शून्य तत्व मुख्य विकर्ण (ऊपर दो का एक उपसमूह) पर हैं।

टिप्स

• यह विधि किसी भी आकार के वर्ग मैट्रिस पर लागू की जा सकती है। उदाहरण के लिए, 2 x 2 मैट्रिक्स में इसका उपयोग करते समय, हम उस रेखा के पहले तत्व में रेखा और स्तंभ को समाप्त कर देंगे, जिसे हम प्रसारित करते हैं, जो हमें 3 x 3 मैट्रिक्स के साथ छोड़ता है, जिसमें इस लेख में दिखाए अनुसार निर्धारक गणना की जा सकती है। । लेकिन चेतावनी दी जाए, अगर हाथ से किया जाए तो यह प्रक्रिया काफी श्रमसाध्य हो सकती है।
• यदि मैट्रिक्स की एक पंक्ति या स्तंभ में सभी तत्व 0 हैं, तो मैट्रिक्स में निर्धारक भी 0 होगा।