विषय

• कदम
• टिप्स

द्विपद एक गणितीय गणितीय शब्द हैं जो एक चर (x, a, 3x, 4t, 1090y) से बना होता है, जो एक स्थिरांक (1, 3, 110, आदि) से जोड़ा या घटाया जाता है। द्विपद हमेशा हमेशा केवल दो शब्द होते हैं, लेकिन वे बहुपद के रूप में जाने जाने वाले बहुत बड़े और अधिक जटिल समीकरणों के घटक तत्व हैं, जो इस सीखने को बेहद महत्वपूर्ण बनाते हैं। यह लेख विभिन्न प्रकार के द्विपद गुणन के बारे में बात करेगा, लेकिन उन्हें अलग से भी सीखा जा सकता है।

कदम

3 की विधि 1: दो द्विपद को गुणा करना

1. 

   गणितीय शब्दावली और प्रश्न प्रकारों को समझें। यदि आप नहीं जानते कि वे क्या पूछ रहे हैं, तो आपकी अगली परीक्षा के प्रश्नों को हल करना असंभव होगा। सौभाग्य से, शब्दावली बहुत आसान है:
   • शर्तें: एक शब्द बस समीकरण का एक हिस्सा है जिसे जोड़ा या घटाया जा रहा है। यह एक स्थिर, एक चर या दोनों हो सकता है। उदाहरण के लिए, 12 + 13x + 4x में, शब्द हैं 12,13x, तथा 4x है।
   • द्विपद: यह कहने का एक जटिल तरीका है "दो शब्दों के साथ एक अभिव्यक्ति", जैसा कि x + 3 या x - 3x।
   • शक्तियां: यह एक शब्द के प्रतिपादक को संदर्भित करता है। उदाहरण के लिए, आप कह सकते हैं कि x "x à" है दूसरी शक्ति या दो को उठाया।’
   • कोई भी प्रश्न जो पूछता है "दो द्विपद (x + 3) (x + 2) की शर्तों का पता लगाएं," "दो द्विपद के उत्पाद का पता लगाएं" या "दो द्विपद का विस्तार करें" आपको दो द्विपद को गुणा करने के लिए कह रहा है।

2. 

   
   
   द्विपद गुणन के क्रम को याद करने के लिए FOIL जानें। FOIL दो द्विपद का गुणन करने के लिए एक अंग्रेजी विधि है। एफओआईएल का अर्थ उस क्रम से है जिसमें आपको द्विपद के भागों को गुणा करने की आवश्यकता है: एफ का मतलब है प्रथम (पहला), ओ है बाहर (बाहर से), मेरा मतलब है भीतरी (अंदर से) और एल के लिए है पिछले (अंतिम) - पहले उन बाहर, फिर अंदर वालों को। नाम उस क्रम को संदर्भित करते हैं जिसमें शर्तें लिखी जाती हैं। मान लें कि आप द्विपद (x + 2) और (x + 5) गुणा कर रहे हैं। शर्तें होंगी:
   • प्रथम: x & x
   • बाहरी: x & 5
   • भीतरी: 2 और एक्स
   • अंतिम: 2 & 5

3. 

   
   
   प्रत्येक कोष्ठक में FIRST भाग को गुणा करें। यह एफओआईएल के लिए "एफ" है। हमारे उदाहरण में, (x + 2) (x + 5), पहले शब्द "x" और "x" हैं। उन्हें गुणा करें और उत्तर लिखें: "x।"
   • पहली शर्तें: x * x = x

4. 

   प्रत्येक कोष्ठक के OUTSIDE भागों को गुणा करें। ये हमारी समस्या के सबसे बाहरी "सुझाव" हैं। तो, हमारे उदाहरण (x + 2) (x + 5) में, ये युक्तियां "x" और "5." होंगी। साथ में, वे "5x" में परिणाम
   • बाहर की शर्तें: x * 5 = 5x

5. 

   
   
   प्रत्येक कोष्ठक के साथ भागों को गुणा करें। दो नंबर जो केंद्र के सबसे करीब हैं, उनके अंदर शब्द होगा। में (x + 2) (x + 5), इसका मतलब है कि आपको "2x" प्राप्त करने के लिए "x" से "2" को गुणा करना होगा।
   • अंदर के शब्द: 2 * x = 2x

6. 

   प्रत्येक कोष्ठक के पिछले भागों को गुणा करें। इस नहीं न अंतिम संख्या का मतलब है, लेकिन प्रत्येक कोष्ठक में अंतिम संख्या। इसलिए, (x + 2) (x + 5) में, "10." प्राप्त करने के लिए "2" और "5" को गुणा करें।
   • अंतिम शर्तें: 2 * 5 = 10

7. 

   सभी शर्तें जोड़ें। एक नई और बड़ी अभिव्यक्ति बनाने के लिए उन्हें एक साथ जोड़कर शर्तों को मिलाएं। पिछले उदाहरण से, हम समीकरण प्राप्त करते हैं:
   • x + 5x + 2x + 10

8. 

   शर्तों को सरल कीजिए। समान शब्द एक समीकरण के भाग होते हैं जिनमें समान चर और शक्ति होती है। हमारे उदाहरण में, 2x और 5x दोनों शब्द x को साझा करते हैं और एक साथ जोड़े जा सकते हैं। अब एक समान शब्द नहीं है, इसलिए वे अछूते नहीं रह गए हैं।
   • अंतिम अन्वेषक: (x + 2) (x + 5) = x + 7x + 10
   • उन्नत नोट: यह जानने के लिए कि समान शब्द कैसे काम करते हैं, गुणा की मूल बातें याद रखें। उदाहरण के लिए, 3 * 5, का अर्थ है कि आप 15 (5 + 5 + 5) प्राप्त करने के लिए पांच तीन बार जोड़ रहे हैं। हमारे समीकरण में, हमारे पास 5 * x (x + x + x + x + x) और 2 * x (x + x) हैं। यदि हम समीकरण में सभी "x" जोड़ते हैं, तो हमें सात "x" s, या 7x मिलते हैं।

9. 

   याद रखें कि घटाए गए अंक ऋणात्मक हैं। जब किसी संख्या को घटाया जा रहा है, तो यह एक ऋणात्मक संख्या को जोड़ने के समान है। यदि आप गणना में ऋण चिह्न रखना भूल जाते हैं, तो आप गलत उत्तर के साथ समाप्त हो जाएंगे। उदाहरण लें (x + 3) (x-2):
   • प्रथम: x * x = x
   • बाहर: x * -2 = -2x
   • अंदर से: 3 * x = 3x
   • नवीनतम: 3 * -2 = -6
   • सभी शर्तें जोड़ें: x - 2x + 3x - 6
   • उत्तर को सरल कीजिए:x + x - 6

विधि 2 का 3: दो से अधिक द्विपद को गुणा करना

1. 

   पहले दो द्विपद को गुणा करें, अस्थायी रूप से तीसरे को अनदेखा करें। उदाहरण (x + 4) (x + 1) (x + 3) लें। हमें एक समय में एक द्विपद को गुणा करने की आवश्यकता है, इसलिए एफओआईएल या टर्म वितरण के साथ दो गुणा करें। एफओआईएल के साथ पहले दो, (x + 4) और (x + 1) को गुणा करना निम्नलिखित होगा:
   • प्रथम: x * x = x
   • बाहर: 1 * x = x
   • अंदर से: 4 * x = 4x
   • नवीनतम: 1*4 = 4
   • शर्तों को मिलाएं: x + x + 4x + 4
   • (x + 4) (x + 1) = x + 5x +4

2. 

   शेष द्विपद को नए समीकरण के साथ मिलाएं। अब समीकरण के उस हिस्से को गुणा किया गया है, आप शेष द्विपद से निपट सकते हैं। उदाहरण (x + 4) (x + 1) (x + 3) में, शेष पद (x + 3) है। नए समीकरण के साथ इसे रखें: (x + 3) (x + 5x + 4)।

3. 

   द्विपद में पहले नंबर को दूसरे कोष्ठक में तीनों संख्याओं से गुणा करें। यह शर्तों के वितरण के बारे में है। इसलिए, समीकरण (x + 3) (x + 5x + 4) में, आपको पहले चरण को दूसरे कोष्ठक के तीन भागों से गुणा करना होगा, "x," "5x," और "4."
   • (x * x) + (x * 5x) + (x * 4) = x + 5x + 4x
   • उस उत्तर को नीचे लिखें और बाद के लिए सहेजें।

4. 

   द्विपद में दूसरी संख्या को दूसरे कोष्ठक में तीनों संख्याओं से गुणा करें। समीकरण (x + 3) (x + 5x + 4) लें। अब, दूसरे कोष्ठक के सभी तीन भागों "x," "5x," और "4." द्वारा द्विपद के दूसरे भाग को गुणा करें।
   • (3 * x) + (3 * 5x) + (3 * 4) = 3x + 15x + 12
   • इस उत्तर को पहले के करीब लिखें।

5. 

   गुणन के दो उत्पादों को जोड़ें। आपको पिछले दो चरणों से उत्तरों को संयोजित करने की आवश्यकता है, क्योंकि वे आपके अंतिम उत्तर के दो भागों को बनाते हैं।
   • x + 5x + 4x + 3x + 15x + 12

6. 

   अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए समीकरण को सरल बनाएं। कोई भी "समान" शब्द, या शब्द जो समान चर और शक्ति (जैसे 5x और 3x) साझा करते हैं, उत्तर को सरल बनाने के लिए जोड़ा जा सकता है।
   • 5x और 3x रूप 8x
   • 4x और 15x फॉर्म 19x
   • (x + 4) (x + 1) (x + 3) = x + 8x + 19x + 12

7. 

   वितरण का उपयोग हमेशा बड़ी गुणा समस्याओं को हल करने के लिए करें। चूँकि आप किसी भी लम्बाई के समीकरणों को गुणा करने के लिए टर्म डिस्ट्रीब्यूशन का उपयोग कर सकते हैं, इसलिए अब आपके पास बड़ी समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक उपकरण हैं, जैसे (x + 1) (x + 2) (x + 3)। शब्द वितरण या एफओआईएल का उपयोग करके दो द्विपद को गुणा करें और फिर पहले दो के साथ अंतिम द्विपद को गुणा करने के लिए शब्द वितरण का उपयोग करें। निम्नलिखित उदाहरण में, हम अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए FOIL (x + 1) (x + 2) का उपयोग करते हैं और फिर शर्तों को वितरित करते हैं (x + 3):
   • (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x + 1) (x + 2) * (x + 2)
   • (x + 1) (x + 2) = x + 3x + 2
   • (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x + 3: + 2) * (x + 3)
   • (x + 3x + 2) * (x + 3) = x + 3x + 2x + 3x + 9x + 6
   • उत्तर को सरल कीजिए:x + 6x + 11x + 6

3 की विधि 3: द्विपद को चुकाना

1. 

   "सामान्य सूत्र" को व्यवस्थित करने का तरीका समझें। सामान्य सूत्र आपको हर बार एफओआईएल की गणना करने के बजाय केवल संख्याओं को फिट करने की अनुमति देते हैं। द्विपद जो दूसरी शक्ति (या वर्ग), जैसे (x + 2), या तीसरी शक्ति, (4y + 12) तक बढ़ाए जाते हैं, को आसानी से पहले से मौजूद सूत्र में फिट किया जा सकता है, जिससे रिज़ॉल्यूशन तेज़ होता है और आसान। सामान्य सूत्र को खोजने के लिए, हम सभी संख्याओं को चरों के साथ बदलते हैं। फिर, अंत में, हम उत्तर में वापस संख्या डाल सकते हैं। समीकरण (a + b) से शुरू करें, जहां:
   • चर शब्द है (as ४y - 1, 2x + 3, आदि)। यदि कोई संख्या नहीं है, तो एक = 1, चूंकि 1 * x = x।
   • ख निरंतर जोड़ा या घटाया जा रहा है (जैसे x + 10, टी - 12).

2. 

   पता करें कि कौन से वर्ग के द्विपद फिर से लिखे जा सकते हैं। (a + b) हमारे पिछले उदाहरण की तुलना में अधिक जटिल लग सकता है, लेकिन याद रखें एक संख्या को चुकाना केवल इसे अपने आप से गुणा करना है। तो आप समीकरण को फिर से लिखने के लिए इसे और अधिक परिचित बनाने के लिए लिख सकते हैं:
   • (a + b) = (a + b) (a + b)

3. 

   नए समीकरण को हल करने के लिए FOIL विधि का उपयोग करें। यदि हम इस समीकरण में एफओआईएल का उपयोग करते हैं, तो हमें एक सामान्य सूत्र मिलता है जो किसी भी द्विपद गुणन के समाधान की तरह दिखता है। याद रखें कि गुणा में, कारकों का क्रम परिणाम नहीं बदलता है।
   • (A + b) (a + b) के रूप में फिर से लिखें।
   • प्रथम: a * a = a
   • अंदर से: b * a = बा
   • बाहर: a * b = ab
   • नवीनतम: b * b = b।
   • नई शर्तें जोड़ें: ए + बा + अब + बी
   • समान शब्दों को मिलाएं: ए + 2ab + बी
   • उन्नत नोट: गुणन और विभाजन गुण घातांक के लिए काम नहीं करते हैं। (a + b) + b के समान नहीं है। यह एक बहुत ही सामान्य गलती है जो लोग करते हैं।

4. 

   अपनी समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य समीकरण a + 2ab + b का उपयोग करें। समीकरण (x + 2) लें। फिर से उपयोग करने के बजाय, हम पहले शब्द को "ए" और दूसरे शब्द को "बी" में फिट कर सकते हैं:
   • सामान्य समीकरण: a + 2ab + b
   • ए = एक्स, बी = २
   • x + (2 * x * 2) + 2
   • अंतिम अन्वेषक: x + 4x + 4।
   • आप मूल समीकरण, (x + 2) (x + 2) में FOIL कर हमेशा अपनी गणना की जाँच कर सकते हैं। यदि गणना सही ढंग से की गई थी, तो आपको हमेशा वही उत्तर मिलेगा।
   • यदि किसी शब्द को घटाया जाता है, तो सामान्य समीकरण में इसे नकारात्मक बनाए रखना आवश्यक है।

5. 

   सामान्य समीकरण में पूरा शब्द सम्मिलित करना याद रखें। द्विपद (2x + 3) को देखते हुए, याद रखें कि a = 2x, न कि केवल a = 2. जब आपके पास अधिक जटिल शब्द हों, तो यह याद रखना आवश्यक है कि 2 और x दोनों चुकता हैं।
   • सामान्य समीकरण: a + 2ab + b
   • A और b: (2x) + 2 (2x) (3) + 3 को बदलें
   • प्रत्येक पद को क्वार्डाडो तक बढ़ाएँ: (2) (x) + 14x + 3
   • उत्तर को सरल कीजिए: 4x + 14x + 9

टिप्स

• जैसे ही द्विपद बड़ा होता है, आपको अधिक जटिल प्रमेय सीखने की आवश्यकता होगी जिसे द्विपद विस्तार कहा जाता है।